Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $(x-1)^2+(y+1)^2=3$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse con centro en otro punto $C(x_C,y_C)$ distinto del origen de coordenadas es $\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$, donde, en nuestro caso concreto, $a^2=b^2=3$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), y por tanto $a=b=\sqrt{3}$. Y, al tener el mismo valor los semiejes $a$ y $b$, deducimos que se trata de una circunferencia; su excentricidad $e:=\dfrac{c}{a}=0$ (como ha de ser en el caso de una circunferencia) ya que, para una elipse genérica $c:=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{0}{3}=0$. Teniendo en cuenta además que $x_C=1$ y $y+1=y-(-1)$, se tiene que $y_C=-1$, luego el centro de dicha circuferencia es el punto $C(1,-1)$. Veamos ahora el valor del radio de la misma. Como una circunferencia descentrada responde a la ecuación $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, identificando el segundo miembro con el valor $3$, es claro que $R=\sqrt{3}$.   $\diamond$