Un ejemplo de clasificación y caracterización de cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: 2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$$

Hemos visto que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En el caso que nos ocupa, $a=2$, $b=0$ y $c=4$, por lo que $\Delta = 0^2 - 4\cdot 2 \cdot 4 = -32 \lt 0$, luego la ecuación general dada corresponde a una elipse.

Para encontrar sus elementos característicos, transformaremos la ecuación general en la ecuación reducida $$\mathcal{C}: \dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1 \quad (1)$$ donde $C(x_C,y_C)$ es el centro de la elipse; y, $a$ y $b$ son sus semiejes.

Empecemos las transformaciones,
$2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$
  $(2x^2+5x)+(4y^2-4y)-1=0$
    $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=\frac{0}{2}$
      $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
        $(x+\frac{5}{4})^2-(\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
          $(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
            $(x+\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{33}{16}=0$
              $\frac{1}{2}\cdot (x+\frac{5}{4})^2+\frac{1}{2}\cdot (2y^2-2y)-\frac{1}{2}\cdot \frac{33}{16}=0$
                $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+\frac{2}{2}\cdot (y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                  $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                    $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                          $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                            $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-\frac{33}{32}=0$
                              $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{41}{32}=0$
                                $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}-\frac{41}{32}=0$
                                  $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\frac{41}{32}$
                                    $\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \frac{41}{32}$
                                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{\frac{41}{32}\cdot (\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{41}{32}\cdot 1}=1$
                                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=1 \quad (1')$

Comparando (1) con (1'), es claro que: $x_C=-\frac{5}{4}$, $y_C=\frac{1}{2}$, y por tanto el centro es el punto $C(-\frac{5}{4},\frac{1}{2})$, siendo las ecuaciones de los ejes de la elipse: $\text{e}_x:x=-\frac{5}{4}$ y $\text{e}_y:y=\frac{1}{2}$ y ; $a=\sqrt{\frac{41}{16}}$, $b=\sqrt{\frac{41}{32}}$. Por otra parte, sabemos que la excentricidad de una elipse se define como $e:=\dfrac{c}{a}$, donde $c$ es la distancia del centro de la elipse a los focos, cumple la relación $c^2=a^2-b^2$ -Nota: recordemos, sin embargo, que en una hipérbola, por el mismo significado del parámetro $c$ la relación que se verifica es $c^2=a^2+b^2$-, luego $c=\sqrt{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2-(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=\sqrt{\frac{41}{16}-\frac{41}{32}}=\sqrt{\frac{41}{32}}$, por consiguiente, $e=\dfrac{ \sqrt{\frac{41}{32}}} {\sqrt{\frac{41}{16}}} =\sqrt{16}{32}=\sqrt{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071 \lt 1$, como debe ser tratándose de una elipse.

Calculemos ahora las coordenadas de los focos, $F$ y $F'$:
Sabemos que:
  $x_F=x_C+\text{dist}(C,F)=x_C+c=-\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F(-\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$
  $x_F'=x_C-\text{dist}(C,F')=x_C-\text{dist}(C,F)=x_C-c=-\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F'=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F'(-\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$

Y, finalmente, los cuatro vértices de esta elipse, $V_{\text{eje horizontal}}$ y $V'_\text{eje horizontal}$, y $V_\text{vertical}$ y $V'_\text{vertical}$:

    $V_{\text{eje horizontal}}=( -\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V'_\text{eje horizontal}=( -\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}+\sqrt{\frac{41}{32}})$
    $V'_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{32}})$
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