Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=3$, y por tanto $a=\sqrt{3}$; y $b^2=2$, con lo cual $b=\sqrt{2}$. Teniendo en cuenta que $2\,c$ es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (los cuales están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $a^2=c^2+b^2$ -recordemos que, por contra, en una hipérbola dicha relación es $c^2=a^2+b^2$-, vemos que $c^2=a^2-b^2=3-2=1$, luego $c=\sqrt{1}=1$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(1,0)$ y $F'(-1,0)$. Por otra parte, la excentricidad de una cónica se define como $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mmenor que $1$.   $\diamond$