Una propiedad interesante de los logaritmos

En este breve artículo del blog voy a demostrar la siguiente propiedad: $$\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$$ siendo $a$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_a\,b \Leftrightarrow b=a^u$. Extrayendo logaritmos en base $b$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_b\,b=\log_b\,a^u$, esto es, $1=\log_b\,a^u=u\,\log_b\,a$, con lo cual, $u=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, es decir $\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, tal como se pedía. $\diamond$