Hay que tener cuidado en no confundir algunas propiedades de los logaritmos por otras que son falsas

Sabemos que $\log_b\,m \cdot \log_b\,n \neq \log_b\,m+\log_b\,n$ y que $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} \neq \log_b\,m-\log_b\,n$ (recordemos que $b,m$ y $n$ son números reales positivos). Demostrémoslo mediante un contraejemplo.

Lo haremos por el método de contradicción (o reducción al absurdo) al tomar valores concretos para $b$, $m$ y $n$. Supongamos que sean ciertas: $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$ y $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$.

Bien, entonces tomemos, por ejemplo $b=10$, $m=1000$ y $n=100$, entonces $\log_{10}\,1000 \cdot \log_{10}\,100=\log_{10}\,10^3 \cdot \log_{10}\,10^2 = 3\cdot 2=6 \neq \log_{10}\,10^3+\log_{10}\,10^2=$
$=3\,\log_{10}\,10+2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1 + 2\cdot 1=5$, que es una contradicción, luego la primera igualdad, $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$, es falsa.

Con los mismos valores (otros cualesquiera también valdrían), $\dfrac{\log_{10}\,1000}{\\log_{10}\,100}=\dfrac{\log_{10}\,10^{3}}{\log_{10}\,10^2}=\dfrac{3\,\log_{10}}{2\,\log_{10}\,10}=\dfrac{3\cdot 1}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2} \neq \log_{10}\,1000-\log_{10}\,100 =$
$=\log_{10}\,10^3-\log{10}\,10^2=3\,\log_{10}\,10-2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1-2\cdot 1= 1$
, que es una contradicción, luego la segunda igualda, $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$, también es falsa.

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Nota: Las que sí son ciertas son las igualdades $\log_b\,a\cdot b=\log_b\,m + \log_b\,n$ y $\log_b\,\dfrac{m}{n}=\log_b\,m-\log_n$. $\diamond$