Algunas identidades notables, muy útiles tanto para realizar cálculos numéricos como para facilitar cálculos algebraicos:

Algunas identidades muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes) y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, y que es interesante tener en cuenta por la eficiencia en las tareas, son las siguientes: Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a + b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 + 2\,(ab+bc+ac)$
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

Como decía, gracias al uso de las identidades algebraicas, algunas ecuaciones que imponen un poco por su aspecto, se resuelven con relativa facilidad; a modo de ejemplo, voy a utilizar la identidad [6] de la lista para resolver la siguiente ecuación polinómica:

$$x^6+x^4+x^3+x=0$$ que, como vamos a ver, su solución contiene números complejos.

Comencemos:
  $x^6+x^4+x^3+x=0$
    $x\,(x^5+x^3+x^2+1=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \quad (1)\\ x^5+x^3+x^2+1=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$
De $(1)$ ya obtenemos un primer valor para la solución. Ahora, voy a intentar resolver la ecuación que nos ha quedado en $(2)$ para encontrar los otros valores de la solución:
  $x^5+x^3+x^2+1=0$
    $x^3\cdot x^2+x^3+x^2+1=0$
      $x^3\,(x^2+1)+(x^2+1)=0$
        $(x^2+1)\,(x^3+1)=0$
          $(x^2+1)\,(x^3+1^3)=0$
            $(x^2+1)\,(x+1)\,(x^2-1\cdot x^2+1^2)=0 \quad (3)$     (utilizando la identidad [6] para desarrollar el factor $x^2+1^3$)
La igualdad $(3)$ se cumple si y sólo si:
  $\left\{\begin{matrix}x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-1}=\left\{\begin{matrix}i \quad (4)\\ -i \quad (5)\end{matrix}\right.\\x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 \quad (6)\\x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)\cdot 3}}{2}=\dfrac{1\pm i\,\sqrt{3}}{2} \quad (7)\,\text{y}\,(8) \end{matrix}\right.$

Reuniendo los seis valores obtenidos $(1),(4),(5),(6),(7)\,\text{y}\,(8)$ —recordemos que, según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales ha de tener $n$ raíces reales complejas (incluyéndose en éstas las reales, esto es, las que su parte imaginaria es cero)—, podemos escribir la solución de la ecuación de sexto grado planteada:

$$\displaystyle \left\{0,-1,i,-i,\dfrac{i+i\,\sqrt{3}}{2},\dfrac{i-i\,\sqrt{3}}{2}\right\}$$

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