Raíces de una función con términos radicales

Nos proponemos en este ejercicio encontrar las raíces de la función real de una variable real $$f(x)=x-\sqrt{-4x-3}$$

El dominio de definición de la función viene dado por la condición $-4x-3\ge 0$ (el argumento de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo), con lo cual, $4x \le 3$ y por tanto $x \le \dfrac{3}{4}$.

Impongamos la condición necesaria para que un cierto valor del dominio de definición de la función sea raíz de la misma: $f(x)=0$. Entonces, $x-\sqrt{-4x-3}=0 \quad (1)$ y por tanto $x=\sqrt{-4x-3}$. Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad se llega a la ecuación algebraica $x^2=-4x-3$, esto es, $x^2+4x+3=0$ y, por tanto, $x=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^3-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ -1\end{matrix}\right.$. Si bien estos valores constituyen la solución de la ecuación algebraica a la que hemos llegado, transformando la original; y, también, forman parte del dominio de definición de la función $f(x)$ (ambos valores son menores que $\dfrac{3}{4}$), deberemos ver, no obstante, si son, también, solución de la ecuación original (1).

Veamos si $-1$ es solución de (1). Para ello sustituimos en el segundo miembro, y vemos que $\sqrt{-4\cdot (-1) -3}=\sqrt{1}=1$, que no es igual al valor del primer miembro, que es $-1$ (al sustituir $x$ por $-1$); así pues, $-1$ no es solución de (1) y por tanto no es una raíz de $f(x)$.

Examinemos ahora si $-3$ es solucioón de (1), procediendo de igual manera: el valor del segundo miembro de (1) es $\sqrt{-4\cdot (-3) -3}=\sqrt{9}=3$, mientras que el valor numérico del primer miembro para $x=-3$ da un valor distinto, $-3$. Ocurre pues lo mismo que con $-1$: tampoco $-3$ es solución de (1), luego $-3$ no es una raíz de $f(x)$. En definitiva, la función $f(x)$ no tiene raíces en el conjunto de los números reales (no hay contacto del trazo de la función con el eje de abscisas).$\diamond$