Ejemplo de resolución de una ecuación trascendente sencillita

En este artículo voy a resolver la ecuación trascendente para $x\in \mathbb{R}$ $$x^x=1$$

Extrayendo logaritmos en cada miembro:
  $\ln(x^x)=\ln\,1$
    $x\,\ln(x)=\ln\,1$
      $x\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ \ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1\end{matrix}\right.$

Ahora debemos verificar estas dos posibles soluciones, sustituyéndolas en la misma para ver si se cumple que la cantidad del primer miembro sea igual a la del segundo:

Para $x=0$ vemos que el primer miembro es $0^0$, que es una ideterminación, y por tanto no podemos garantizar que sea igual al valor del segundo miembro, luego descartamos este valor, $0$, como solución.

Para $x=1$ se tiene que $1^1=1$, que es igual al valor $1$ del segundo miembro, luego este valor, $1$, sí es solución de la ecuación original.

-oOo-

Observación:

Si el segundo miembro de la ecuación hubiese sido distinto de $1$, no podríamos haber encontrado una solución exacta, teniendo en tal caso que recurrir a métodos numéricos aproximados.

$\diamond$