Ecuaciones con soluciones complejas

Me he encontrado con esta ecuación trascendente $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$ Voy a resolverla. Antes de empezar, observemos que $x$ ha de ser distinto de $0$, pues es evidente que de ser ésta $0$ se tendría que $\sqrt{0}+\sqrt{0}=0\neq 1$, que es una contradicción. Por otra parte, si $x\gt 0$, es claro que $\sqrt{x}\in \mathbb{R}$; pero, entonces $-x\lt 0$ y por tanto $\sqrt{-x}\in \mathbb{C}$, luego deberemos buscar la solución en el conjunto de los números complejos, $\mathbb{C}$. Dicho esto, comencemos con los pasos algebraicos necesarios para el despeje de la incógnita $x$.

  $\sqrt{x}=1-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(1-\sqrt{-x})^2$
      $x=1-2\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=1-2\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $x-(-x)=1-2\,\sqrt{-x}$
            $2x=1-2\,\sqrt{-x}$
              $2x-1=-2\,\sqrt{-x}$
                $(2x-1)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                  $4x^2-2\cdot 2x+1=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                    $4x^2-4x+1=4\,(-x)$
                      $4x^2-4x+1=-4x$
                        $4x^2-4x+4x+1=0$
                          $4x^2=-1$
                            $(2x)^2=-1$
                              $\sqrt{(2x)^2}=\pm\sqrt{-1}$
                                $2x=\pm i$
                                  $x=\pm \dfrac{1}{2}\,i$
Hemos encontrado pues dos valores: $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$ y $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, que, como candidatos a formar parte de la solución, debemos comprobar a continuación.

Comprobación:

El primer valor encontrado, $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$, verifica la igualdad pedida. En efecto,
$\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}\overset{?}{=}1$
  $\sqrt{\dfrac{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}+\sqrt{\dfrac{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}=$
    $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left( e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right)$
        $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( e^{i\,\dfrac{\pi}{4}}+e^{-i\,\dfrac{\pi}{4}} \right)$
          $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( \cos\,\dfrac{\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{4} \right)+\left( \cos\,\dfrac{-\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{-\pi}{4} \right) \right)$
            $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\,\cos\,\dfrac{\pi}{4})$
              $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
                $=1$

Por otra parte, para el segundo valor encontrado, $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, nos preguntamos si $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}\overset{?}{=}1$. Veamos que así es; en efecto, $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}=\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{\dfrac{i}{2}}=\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}=1$, tal como acabamos de comprobar para $x_1$.

Por consiguiente, ambos valores encontrados satisfacen la igualdad algebraica planteada (la ecuación), luego los dos forman parte de la solución. $\diamond$