Un bonito ejercicio de resolución de ecuaciones trigonométricas, para valores de $x$ comprendidos en la primera vuelta: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{\cos^2\,x}=1$$
Teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2\,x+cos^2\,x=1$, se tiene que $cos^2\,x=1-\sin^2\,x$, con lo cual podemos escribir la ecuación pedida de la siguiente forma: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$$
Entonces,
$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$
$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2\cdot 2^{-\sin^2\,x}=1$
$\displaystyle \dfrac{-2^{\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}+\dfrac{2\cdot 2^{-\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}=\dfrac{1}{2^{-\sin^2\,x}}$
$\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2+2=2^{\sin^2\,x}$
$\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2-2^{\sin^2\,x}+2=0$
$\displaystyle -u^2-u+2 \quad \overset{u:=2^{\sin^2\,x}}{=} \quad 0 \Leftrightarrow u=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2 \cdot (-1)} =\left\{\begin{matrix}-2 \\ 1 \end{matrix}\right.$
Si $u=-2$, tenemos que $-2=2^{\sin^2\,x}$, y, como el segundo miembro es una cantidad positiva y el primero es una cantidad negativa, esta posibilidad no lleva a ninguna solución; por otra parte, si $u=1$, se tiene $1= 2^{\sin^2\,x}$, esto es, $2^0= 2^{\sin^2\,x} \Leftrightarrow \sin^2\,x=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix}0^o \\ 180^o \end{matrix}\right.$. La solución pedida consta pues de dos valores $0^o$ y $180^o$, o, expresado en radianes: $0\, \text{rad}$ y $\pi\,\text{rad}$. $\diamond$
