Ejercicio de aplicación de identidades notables para resolver una ecuación polinómica

En el siguiente ejercicio voy a resolver la ecuación polinómica $$x^6=(x+1)^6$$ Observemos que esta ecuación es equivalente a $x^6-(x+1)^6=0$, siendo el primer miembro de la igualdad un polinomio de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese), y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x+1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x+1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x+1)^3\right)\left(x^3+(x+1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x+1)) (x^2+x(x+1)+(x+1)^2) (x+(x+1)) (x^2-x(x+1)+(x+1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $-(3x^2+3x+1)(2x+1)(x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-3 \pm i\,\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x+1=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-1 \pm i\,\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
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