Una ejercicio con curvas cónicas. Intersección de curvas cónicas: representación gráfica y resolución de un sistema de ecuaciones cuadráticas con GNU MAXIMA

Nos proponemos calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la circumferencia $C:x^2+y^2=3^2$ (de radio igual $3$ y centrada en el origen de coordenadas) y la elipse $E:\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$ (centrada también en el origen de coordenadas, con semiejes $a=4$ y $b=2$). Para ello, debemos resolver el sistema de cuaciones cuadráticas $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=3^2 \\ \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\end{matrix}\right.$

Primero, visualicemos las gráficas de dichas cónicas:

   (%i31)	wxplot2d([x^2+y^2=9,x^2/16+y^2/4=1],[x,-10,10],[y,-10,10]);
  

A la vista de las mismas, vemos que se intersecan en $4$ puntos del plano

A continuación, vamos a calcular las coordenadas exactas de los puntos de intersección:

(%i9)	c:x^2+y^2=3^2$ /* ecuación de la circumferemcia */
	
(%i10)	e:x^2/4^2+y^2/2^2=1$ /* ecuación de la elipse */

/* instrucción de resolución del sistema de ecuaciones 
formado por las dos ecuaciones anteriores y respuesta 
de MAXIMA */  
(%i11)	solve([c,e],[x,y]); 
(%o11)	[[x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
          [x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)],
            [x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
              [x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)]]
  
  

Así, pues, vemos que las coodenadas $(x,y)$ de los $4$ puntos de intersección son: $\left\{ \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right),\left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right) \right\}$. $\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA