Un ejercicio práctico de cambio de base logarítmica

En este artículo voy a mostraros cómo podemos expresar el logaritmo neperiano (en base el número trascendente $e=2,71828\ldots$) de $x$ (recordemos que $x$ ha de ser un número real mayor que $0$) con logaritmos de base $2$.

Ya hemos hablado de este asunto del cambio de base logarítmica en otras ocasiones; en este ejercicio me ha parecido sin embargo muy útil en tanto y cuanto nos podemos encontrar con alguno parecido cuando se tratan problemas sobre la cantidad de información en bits, en los que los logaritmos deben tener base $2$.

Designemos $t:=\ln\,x$, donde $\ln(.)$ denota el logaritmo en base $e$. Bien, entonces, por la propiedad fundamental de los logaritmos, sabemos que $x=e^t$; y, extrayendo logaritmos en base $2$ en cada miembro, llegamos a $\log_2\,x=\log_2\,e^t$, es decir, $t\,\log_2\,e=\log_{2}\,x \Rightarrow t=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$. En consecuencia, $$\ln\,x=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$$ $\diamond$