Un ejercicio de comparación de números trascendentes

Sin utilizar la calculadora científica ni hacer ningún tipo de cálculo numérico, vamos a averiguar qué número es mayor, $\pi^e$ o $e^\pi$

Es claro que ambos números son mayores que $1$, y no son iguales. Para averiguar cuál es la respuesta a la pregunta, partamos del cociente $\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}$, que vamos a examinar en datalle a continuación.

Si $\pi^e \gt e^\pi$, dicho cociente tendrá que ser mayor que $1$; y, en caso contrario, dicho cociente debería ser menor que $1$. Veamos si se trata de una cosa u otra.

Para ello, tengamos en cuenta que todo número real positivo $a$ puede expresarse como $a=e^{\ln\,a}$, por lo que asignando $a:=\pi$, podemos escribir el cociente de la forma $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}}$$

Por otra parte, tengamos en cuenta que los puntos de la gráfica de la función $y=\ln\,x$ están todos por debajo de la gráfica de la función $y=x$ (las ordenadas de la primera son menores que las de la segunda); en efecto, las funciones $y=e^x$ e $y=\ln\,x$ son recíprocas una de la otra, esto es, la gráfica $y=\ln\,x$ es el reflejo de $e^x$ con respecto a la bisectriz del primer (y del tercer) cuadrante $y=x$, y viceversa. Entonces, podremos acotar el cociente; y, a partir de ahí, llegar fácilmente a la respuesta a la pregunta planteada: $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}} \le \dfrac{e\cdot e^\pi}{e^\pi}=e \gt 1 \Rightarrow \pi^e \gt e^\pi$$ $\diamond$