Desigualdades básicas entre los módulos de los números complejos que aparecen al sumarlos o restarlos

No se puede establecer una relación de orden en los números complejos y por tanto no tiene sentido plantearnos si uno es mayor o menor que otro; sin embargo, sí podemos comparar los módulos (se indica el módulo de un número complejo $z$ mediante la notación $|z|$) de los mismos, ya que el módulo de un número complejo es un número real.

Podéis comprobar que, para cualesquiera $z,w\in \mathbb{C}$, las siguientes relaciones son válidas:

1. $|z+w|\le |z|+|w|$ (esta desigualdad se conoce como desigualdad triangular, y es la análoga a la que ya conocéis para la suma de vectores)
2. $|z-w|\le |z|+|w|$
   En estas dos que siguen, el primer y último símbolo $|$ corresponde al valor absoluto del número real (véase (1)) que se obtiene al realizar la diferencia de los módulos de $w$ y $z$, $|z|-|w|\in \mathbb{R}$:
   
3. $|z+w|\ge ||z|-|w||$
4. $|z-w|\ge ||z|-|w||$

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Observación/comentario:

Estas mismas relaciones también son válidas en la recta de los números reales (en la que sí hay definida una relación de orden, y, por tanto puede establecerse la diferencia entre dos números reales cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$). En la versión de estas propiedades para los números reales, hay que tener en cuenta que, ahora, la notación $|.|$ indica siempre la operación valor absoluto: $$|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x\ge 0 \\ -x & \text{si} & x\lt 0 \end{matrix}\right.\quad (1)$$

1. $|a+b|\le |a|+|b|$
2. $|a-b|\le |a|+|b|$
3. $|a+b|\ge ||a|-|b||$
4. $|a-b|\ge ||a|-|b||$

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