Acerca del cambio de base de un logaritmo

Otra interesante propiedad sobre el cambio de base logarítmica es la siguiente:

$$\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$$ siendo $a$, $x$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_b\,x \Leftrightarrow x=b^u$, y extrayendo logaritmos en base $a$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_a\,x=\log_a\,b^u$, esto es, $\log_a\,x=u\,\log_a\,b$, con lo cual, $u=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, es decir $\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, tal como se pedía. En muchos cálculos, esta propiedad puede resultar muy práctica, por ejemplo: $\ln\,x=\dfrac{\log\,x}{\log\,e}$ (recordemos que $\log(.)$ indica el logaritmo decimal (en base $10$) y que $\ln(.)$ denota el logaritmo neperiano (en base $e$). $\diamond$