Calcular la suma de los términos consecutivos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que
      $1^2+2^2+3^2+\ldots+25^2=5525$
esbrineu el valor de la suma següent:
      $2^2+4^2+6^2+\ldots+50^2$

Solució:
Observem que en els termes de la suma hi ha el següent patró (regularitat):
    $2^2=4=4\cdot 1=4 \cdot 1^2$
    $4^2=16=4 \cdot 4= 4\cdot 2^2$
    $6^2=36=4 \cdot 9= 4\cdot 3^2$
    $8^2=64=4 \cdot 16= 4\cdot 4^2$
    $10^2=100=4 \cdot 25= 4\cdot 5^2$
    $\ldots$
    $50^2=\ldots=4\cdot 25^2$
és a dir
      $2^2+4^2+6^2+\ldots+50^2$ és igual a
        $4\cdot 1^2+4\cdot 2^2+4\cdot 3^2+4\cdot 4^2+\cdots+4\cdot 25^2$
          $=4\,\big(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+25^2\big)$
          $=4\cdot 5525$
          $=22100$
$\square$

[nota del autor]

Un algoritmo para calcular el máximo común divisor ... ( Artículo escrito en catalán )

    En un altre article exposava l'algorisme de les diferències successives per trobar el màxim comú divisor de dos nombres naturals, un algorisme molt natural i ben conegut pels antics matemàtics grecs. Ara, n'exposaré un altre de molt eficaç per trobar també el màxim comú divisor de dos nombres naturals: l'algorisme dit d'Euclides. Aquest algorisme està emparentat amb l'anterior pel fet que també es fonamenta en la idea de fer ús d'una quantia patró (el màxim comú divisor) amb la qual cobrir exactament dues magnituds (els dos nombres donats), però fent ús, ara, del teorema de la divisió euclidiana per controlar el valor del residu de les divisions, quantitat que, quan és nul·la, ens indica l'assoliment de la mesura patró, que serà el valor del divisor en el pas que toqui. A sota, escric aquest algorisme d'una forma més acurada:

procediment mcd_euclides(a,b);
comença
  defineix D:enter; // variable auxiliar que representa el dividend
  defineix d:enter; // variable auxiliar que representa el divisor
  defineix r:enter; // variable auxiliar que representa el residu 
  si a < b
    {
     { 
       D:=a;
       d:=b; 
     }
    altrament
     {
       D:=b;
       d:=a; 
     }
    }
    fes
        {
          r:=residu(D div d);
          si r < 0  llavors 
             {
               D:=d;
               d:=r;
             }
        }
    mentre r > 0
  escriu "mcd(a,b)=",d;
acaba.

Exemple:
    Calculeum el màxim comú divisor dels nombres naturals 15 i 12 fent ús de l'algorisme de les diferències:
------------------------
pas número 1:
    $D \leftarrow 15$ i $d \leftarrow 12$    
i obtenim
    $r=3$ ( el valor del residu de la divisió )
i com que r > 0, continuem
------------------------
pas número 2:
    $D \leftarrow 12$ i $d \leftarrow 3$     ( assignem al nou dividend l'antic divisor i al nou divisor l'antic residu )
i obtenim
    $r=0$ ( el valor del residu de la divisió )
i, per tant, concloem que mcd(15,12)=3     (ja que aquest és el valor de $d$ en el pas que $r=0$ ), i acabem.

$\square$

Observació:     Aquí s'ha implementat l'algorisme a mà perquè els nombres de l'exemple són petits. Si els nombres fossin més grans convindria fer ús d'algun llenguatge de programació per poder implementar de manera automàtica l'algorisme en un ordinador o en una calculadora programable. Suggereixo MAXIMA.

[nota del autor]

Averiguar si las siguientes funciones son periódicas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat
Esbrineu si les següents funcions són periòdiques:
    a)   $g(x)=x\,\sin \,x$
    b)   $h(x)=\sin^{2} \,x$

Nota 1:  Recordem que una funció $f$ ( definida en $\mathbb{R}$ i amb valors en $\mathbb{R}$ ) és periòdica si, per a tot $x \in \text{D}_f$, existeix un nombre real $T \in \text{D}_{f} | f(x+T)=f(x)$.

Nota 2:  La funció sinus és periòdica, atès que $\sin \,x = \sin (x + T)$ amb període $T = 2\,\pi \; \text{rad}$.

Solució:
  a) Si $g$ és periòdica, de període $T$, s'ha de complir que $g(x+T)=g(x)$ però $g(x+T)=(x+T)\cdot \sin\,(x+T)=(x+T)\cdot \sin\,x \neq x\,\sin\,x$
Arribem, doncs, a la conclusió que $g$ no és una funció periòdica.

  b) Si $h$ és periòdica, de període $T$, s'ha de complir que $h(x+T)=h(x)$, i, efectivament,
  $h(x+T)=\sin^{2}{(x+T)}=\sin{(x+T)}\cdot \sin{(x+T)}$
      $=\sin\,x \cdot \sin\, x = \sin^{2}\,x = h(x)$
concloem que $h$ es una funció periòdica.
$\square$

[nota del autor]

Expresar la función dada como suma de una función simétrica ( par ) y de una función antisimétrica ( impar ) . ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Expresseu la funció $f(x)=3^{x}$ com a suma d'una funció simètrica i una funció antisimètrica.

Solució:
Recordem que una funció $f(x)$ ( ha de ser contínua, però ) és simètrica si $f(x)=f(-x)$, i, és antisimètrica si $f(x)=-f(-x)$. Existeixen, però, funcions que no són simètriques ni antisimètriques.

Així, per exemple, la funció donada no és ni simètrica ( $ f(-x) = 3^{-x} \neq f(x)$ ) ni antisimètrica ( $ f(-x)=3^{-x} \neq - f(x)$ ).

No obstant això, és evident que qualsevol funció $f(x)$ sempre es pot escriure de la següent manera
    $f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2} \quad \quad (1)$
Per altra banda, sabem que (propietat):
    a) la funció $f(x)+f(-x)$ és una funció simètrica, que anomenarem $s(x)$
    b) la funció $f(x)-f(-x)$ és una funció antisimètrica, que anomenarem $a(x)$
Llavors, podrem escriure (1) de la forma
    $f(x)=\dfrac{s(x)+a(x)}{2}$
és a dir
      $f(x)=\dfrac{s(x)}{2}+\dfrac{a(x)}{2}$
i donat que
    $s(x)=3^{x}+3^{-x}$ i $a(x)=e^{x}-e^{-x}$
arribem a
      $f(x)=\dfrac{3^{x}+3^{-x}}{2}+\dfrac{3^{x}-3^{-x}}{2}$
que és la suma de d'una f. simètrica (primer sumand) i d'una f. antisimètrica (segon sumand), tal com s'ha demanat.
$\square$

[nota del autor]

Determinar el dominio de definición de la función ...

Enunciado:
Encontrar el dominio de definición de la función definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$:
      $f(x)=\dfrac{1}{x-\left[x\right]}$
donde $\left[x\right]$ representa la función parte entera de $x$.

Solución:
El dominio de definición de esta función, que es una f. racional, está formado por todos los números reales que no anulan el denominador de la misma; como los únicos números reales lo anulan son los números enteros
$\mathbb{Z}$, el domini de definición pedido es $D_f=\mathbb{R}-\mathbb{Z}$
$\square$

[nota del autor]

Errores de medida. Cotas de error absoluto y relativo. Propagación de los errores de medida a través de sumas, restas, productos y cocientes.

Al tratar de obtener el valor exacto, $x$, de una magnitud, se efectúa una serie de medidas experimentales, que dan lugar a un valor aproximado de dicha magnitud -- por ejemplo, la media $\bar{x}$ de las mismas --, con una cota de error absoluto $\Delta x \ge 0$, pudiendo escribir: $x=\bar{x}\pm \Delta x$. Y denominamos cota de error relativo a $\delta x =\dfrac{\Delta x}{\left| \bar{x} \right| }$.

El error en las medidas se propaga a través de los cálculos que realizamos con ellas, de modo que para una suma, $s\approx \bar{x}+\bar{y}$, tenemos que $\Delta s \approx \Delta x + \Delta y$.

Para una diferencia, $d\approx \bar{x}-\bar{y}$, ocurre lo mismo: $\Delta d \approx \Delta x + \Delta y$; sin embargo, hay que tener en cuenta que si $x \approx y$, entondes $\delta d = \dfrac{\Delta d}{\left| \bar{x}-\bar{y}\right|}$ puede ser muy grande.

Para un producto, $p\approx \bar{x}\,\bar{y}$, se tiene $\Delta p \approx \bar{x}\, \Delta y + \bar{y}\,\Delta x$, y $\delta p \approx \delta x +\delta y$

Para un cociente, $q \approx \dfrac{\bar{x}}{\bar{y}}$, se tiene $\Delta q \approx \dfrac{\bar{x}}{\bar{y}} \left( \dfrac{\Delta x}{\bar{x}} + \dfrac{\Delta y}{\bar{y}}\right)$, y $\delta q \approx \delta x +\delta y$

$\square$

[nota del autor]

Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas. ( Artículo escrito en catalán ).

Producte cartesià de dos conjunts:
Donats dos conjunts
$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$
i
$B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\}$
anomenem producte cartesià de $A$ per $B$ i es designa per $A \times B$ al conjunt $n\cdot m$ de parells ordenats
$A \times B= \{(a_i,b_j): i=1,2,3,\ldots,n \quad j=1,2,3,\ldots, m\}$

Relació binària:
Donats dos conjunts $A$ i $B$, i el seu producte cartesià $A \times B$, es defineix una relació binària $\mathcal{R}$ entre els conjunts $A$ i $B$ com un subconjunt $G$ de $A \times B$. Llavors, donat un parell ordenat $(x,y) \in G$, direm que $x$ està relacionat amb $y$ ( o que a $x$ li correspon $y$ ) i s'expressa $x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y $.

La representació gràfica del conjunt de parells ordenats $G=\{(x,y)| x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y \;,\; x\in A \; i \; y\in B\}$ s'anomena graf de la relació binària entre $A$ ( conjunt inicial o de partida ) i $B$ ( conjunt final o d'arribada ).

Donada, doncs, la relació binària $\mathcal{R}$, al conjunt d'elements $\{x: (x,.)\in G \subset A \times B \}$, és a dir, als elements de $A$ als quals els correspon algun element de $B$ per la relació binària $\mathcal{R}$ s'amena conjunt objecte ( o domini de $\mathcal{R}$ ) i al subconjunt de $B$ format pels elements que són imatge d'algun element del conjunt objecte ( és a dir el conjunt de les antiimatges ) s'anomena conjunt imatge.

Relacions funcionals (aplicacions):
Si a cada element del conjunt objecte li correspon $0$ o $1$ element del conjunt imatge direm que la relació binària $\mathcal{R}$ definida entre $A$ i $B$ és de tipus funcional ( o que $\mathcal{R}$ és una aplicació ). Tractant-se d'una aplicació ( o relació funcional ) el conjunt objecte s'anomena domini d'existència ( o camp d'existència ), i, al conjunt imatge recorregut.

Aplicacions entre conjunts numèrics (funcions numèriques):
En particular, si els conjunts d'inici i d'arribada ( i, per tant, el camp d'existència i el recorregut ) són conjunts numèrics, parlarem de funcions numèriques.

Exemples de relacions binàries que són aplicacions:
Exemple:   Una successió com ara la de terme general $f(n)=n+1$ és una aplicació definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ ) i, per tant, és una funció numèrica; el seu gràfic és un conjunt de punts aïllats i, per això, anomenem a aquest tipus de funcions ( com ara, les successions ), funcions discretes.

Exemple:   Una aplicació definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) , com ara, $f(x)=x+1$ és una funció numèrica ( el gràfic és una recta, i el seu gràfic és un traç continu).

Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$ ( valor absolut de l'arrel quadrada ) és una aplicació ( funció numèrica) ja que la presència de l'operació valor absolut evita que hi hagi dues imatges per a un mateix valor $x$ del domini d'existència, la qual cosa la invalidaria com aplicació.

Exemples de relacions binàries que no són aplicacions:
Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\sqrt{x}$ ( arrel quadrada ) no és una aplicació perquè és bivaluada ( a un mateix element del conjunt objecte li corresponen dues imatges: una positiva i l'altra negativa; per exemple, $\sqrt{4}=\pm 2$ ).

Tipus de funcions (aplicacions):
Una funció pot ser:
  aplicacions injectives
Una funció $f$ és injectiva si donats dos o més valors iguals del seu recorregut ( codomini ), llavors les seves antiimatges també són iguals.
  aplicacions exhaustives
Una funció $f$ és exhaustiva si per ta tot valor del seu recorregut ( o codomini ) existeix antitimatge.
  aplicacions bijectives
Una funció $f$ és bijectiva si és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen un únic valor com antiimatge: $x_{k}=y_{k}-1$ .


Exemple de funció que no és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $f(x)=x^2$ no és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen dues antiimatges $+\left|\sqrt{y_k}\right|$   i   $-\left|\sqrt{y_k}\right|$; per exemple, donat $y_{k}=4$, trobem dues antiimatges diferents: $x_{k_1}=-2$ i $x_{k_2}=2$.

Exemple de funció que és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a qualsevol parell de valors iguals del seu recorregut ( $y_1 = y_2$ ), llavors les respectives antiimatges ( $x_1=y_1-1$   i &   $x_2=y_2-1$ ) també són iguals.

Exemple de funció que no és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és exhaustiva perquè tots els valors negatius del seu recorregut ( que és, segons la definició, $\mathbb{R}$ ), no tenen antiimatge; per exemple, $y=-1$ no té antiimatge perquè $\sqrt{-1}$ no és un nombre real.   Nota: Evidentment, si es redefineix el recorregut ( o codomini ) de la forma $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sí que és exhaustiva.

Exemple de funció que és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és bijectiva perquè és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva, atès que no és exhaustiva ni injectiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva perquè, malgrat sí que és exhaustiva en haver redefinit el recorregut (vegeu un exemple anterior), no és injectiva.

[nota del autor]

Los primos de Marsenne. ( Artículo escrito en catalán )

A la pàgina web del projecte Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) es pot llegir en un rètol de capçalera
            $2^p-1$ may be prime
que resumeix l'objectiu del projecte: trobar nombres primers de Marsenne com més grans millor. Aquest projecte és obert a la col·laboració de tothom, tan a la dels matemàtics professionals com a la dels matemàtics aficionats i persones que vulguin participar. Hom pot fer ús d'aquest programa que permet fer els càlculs. Hi ha, a més, premis monetaris per a qui trobi nous nombres de Marsenne primers.

El nombres naturals de Marsenne són nombres del tipus $2^n-1$ on ( $n$ és un nombre natural ); d'aquests, alguns són primers. S'ha demostrat que els nombres naturals de Marsenne $M_n$ només poden ser primers si $n$ ( l'exponent de la potència de base $2$ de l'expressió ) és un nombre primer. Per això, per designar els nombres de Marsenne primers s'escriu $2^p-1$. És important, però, aclarir que pas no tots els nombres de Marsenne del tipus $2^p-1$ ( on $p$ és primer ) són primers. És a dir, no tots els nombres construïts de la forma $2^p-1$ ( on $p$ és primer ) són nombres de Marsenne primers. Vet aquí la dificultat de trobar nombres de Marsenne primers cada vegada més grans.

Fa pocs dies (25/01/2013) que s'ha aconseguit un nou rècord: un nombre primer de $17\,425\,170$ xifres; és el 48è nombre de Marsenne primer, que es designa $M_{48}$. L'ha trobat el matemàtic Curtis Cooper . Podeu veure les xifres d'aquest nombre primer tan gran aquí. Ja sabeu que els nombres primers són molt important en teoria de nombres. Per altra banda, obtenir nombres primers tan grans com sigui possible és també molt important per raons pràctiques, per exemple, per poder garantir la seguretat dels sistemes criptogràfics actuals.

[nota del autor]

La función parte entera de un número real usando MAXIMA. ( Artículo escrito en catalán )

La funció part entera d'un nombre real
$[x]:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}$
dóna el nombre enter més petit i més proper a $x$

Exemples:
$[3'7]=3$
$[-1'1]=-2$
$[-1'9]=-2$
$[0'1]=0$
$[0'6]=0$

Cal fer servir la funció floor en la major part del programari matemàtic, com ara MAXIMA.

També es pot fer servir la instrucció entier (hom recorda millor la seva sintaxi); per exemple, fent:
        (%i1) entier(-2.1);
MAXIMA respon:
        (%io1) -3

[nota del autor]

Extracción de común denominador en una suma de fracciones algebraicas ( ejemplos de uso de MAXIMA ). (Artículo escrito en catalán )

Exemple 1
Extracció de denominador comú:

Considerem la suma de raccions algèbriques
$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x^2-1}$

Si volem expressar-la com una sola fracció farem
        (%i1) ratsimp(1/(x+1)+1/(x^2-1));

i MAXIMA respon

        (%o1) ${{x} \over{x^2-1} }$

Exemple 2
Desenvolupant una expressió trigonomètrica:

Considerem la raó suma de dos angles
$\sin{(x+y)}$

Si volem desenvolupar-la (obtindrem l'expressió de la identitat coneguda) farem
        (%i2) trigexpand(sin(x+y);

i MAXIMA respon

        (%o2) $\cos x\,\sin y+\sin x\,\cos y$

I, viceversa, si volem compactar l'expressió, escriurem
        (%i3) trigreduce(%o2);

i obtindrem

        (%o3) $\cos{(x+y)}$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales con MAXIMA. ( Artículo escrito en catalán ).

MAXIMA permet trobar la solució d'equacions logarítmiques i exponencials fent ús de la instrucció solve, tal i com ja fèiem amb les equacions algebraiques. Ara que esteu estudiant les equacions transcendents, és interessant que en feu ús, per exemple, per comprovar si el resultat que heu obtingut amb llapis i paper és correcte. A continuació us mostro uns quants exemples.

Exemple 1:

Volem resoldre l'equació $\ln{(2+x)}=3$ fent ús de MAXIMA:
Teclegem:
          (%i1) solve(log(2+x)=3,x);
I MAXIMA respon:
          (%o1) [x=%e^3-2]
és a dir,
$x=e^3-2$

Exemple 2:

Equació $2^x=5$
Teclegem:
          (%i2) solve(2^x=5,x);
I MAXIMA respon:
          (%o2)
                    $\left[ x={{\log 5}\over{\log 2}} \right]$
és a dir,
$x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$
Recordem que per visualitzar l'expressió decimal aproximada (amb la precisió estàdard de 16 x.s.) caldrà fer ús de la instrucció
          (%i3) %o2,numer;
i obtindrem
          (%o3) 2.321928094887362

Exemple 3:

Equació $7^{x^2+1}=1$
Teclegem:
          (%i4) solve(7^(x^2+1)=1,x);
I MAXIMA respon:
          (%o4) $\left[ x=-i , x=i \right]$
és a dir,
$x=\pm \, i \in \mathbb{C}$
Com es pot observar, en aquest cas, trobem la solució
en el conjunt dels nombres complexos.
$\square$

[nota del autor]

Polinomios. Raíces de un polinomio. ( Artículo escrito en catalán ).

Exemple       Considerem el polinomi A(x) = 2x⁶-5x⁴+4x²-1, esbrineu si -1 és una arrel del polinomi.

Primer de tot, cal recordar que una arrel (o zero) d'un polinomi (de variable x) és tot valor de la variable que anul·la el polinomi, és a dir, quan substituïm en l'expressió del polinomi el símbol "x" pel valor considerat, el resultat és igual a zero. Ara, però, us demano que esbrineu si el nombre proposat és una arrel, sense fer, però, el que és més natural (la substitució) sinó que ho feu fent ús del teorema del residu. [Comentari. No penseu pas que això és un caprici, ben al contrari, quan es tracta de cercar arrels dins d'un conjunt de possibles nombres racionals, el que ara veureu és força eficaç, perquè quan trobem una arrel, també determinarem els coeficients del polinomi quocient, el qual, a la vegada, es pot intentar factoritzar, i així, successivament, fins arribar a un polinomi primer ]. Per això, caldrà fer la divisió, la qual es pot fer fent ús de l'algorisme general de la divisió o bé fent servir l'algorisme de Ruffini, que és vàlid per aquest tipus de divisions (el divisor és un polinomi de grau u del tipus "x-a"). Vegeu el resultat de la divisió a sota:     | 2 0 -5 0 4 0 -1 -1 | -2 2 3 -3 -1 1 -------------------------------------     | 2 -2 -3 3 1 -1 0 Observem que el reste de la divisió és igual a zero, per tant, aquest és el valor del polinomi A(x=-1) i, doncs, x=-1 és una arrel de A(x). Comentari. Per altra banda, i posant en pràctica el que s'ha dit en el primer comentari, com que ja s'ha fet la divisió, coneixem també els coeficients del polinomi quocient, per tant, podem aprofitar per fer un primer pas de factorització del polinomi donat:             2x6-5x4+4x2-1 =(2x5-2x4-3x3+3x2+x-1)(x-(-1))

Descomposición de una fracción algebraica impropia como suma de un polinomio y una fracción algebraica propia. ( Artículo escrito en catalán ).

ENUNCIADO.
Expresar la siguiente fracción algebraica impropia como suma de un polinomio y una fracción algebraica propia
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}$

SOLUCIÓN.
Realizando la división $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
encontramos que el polinomio cociente es $x$, y que el polinomio resto és $2\,x+1$
con lo cual, por el teorema de la división de polinomios, podemos escribir:
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
$\square$

Ejercicio de descomposición de una fracción algebraica en suma de fracciones algebraicas simples

ENUNCIADO
Descomponer en suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)} \quad \quad \text{on} \; a,b \in \mathbb{R} \; \text{siendo}\; a \neq b$

SOLUCIÓN.
Es necesario determinar el valor de los coeficientes $m,n \in \mathbb{R}$ tales que
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro de la igualdad, vemos que
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
con lo cual
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
esto es
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
e igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros de la igualdad, se llega al siguiente sistema de ecuaciones
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, obtenemos
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
y
    $n=\dfrac{1}{a-b}$
Con lo cual podremos escribir:
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{1}{b-a}\,\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{a-b}\,\dfrac{1}{x+b}$
$\square$

Ejercicio con vectores. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La Marta, que s'amaga en un punt del pla $M$, ens diu que les coordenades cartesianes del punt del pla $A$ on es troba l'Albert ( relatives al sistema de referència amb origen en el punt del pla on ella es troba ) són: $(6,1)$. Per altra banda, sabem que les coordenades de la posició de l'Albert, segons el nostre propi sistema de referència, amb origen de coordenades en el punt $O$, són $(7,3)$. On és la Marta ? Quines són les coordenades del punt $M$ relatives al nostre sistema de referència, amb origen en el punt $O$ ?.

Solució:
Observem el triangle vectorial de la figura:

Llavors es complirà
    $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$
d'on es dedueix que
    $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{MA}$

Per tant, tindrem la següent relació entre les coordenades dels vectors de posició dels tres punts del pla:
    $(x_{M},y_M)=(7,3)-(6,1)$
és a dir, les coordenades/components del vector de posició de $M$ respecte de punt $O$ (on nosaltres estem situats) són
    $(x_{M},y_M)=(7-6,3-1)=(1,2)$

Tenint en compte, ara, que les coordenades/components dels vectors de posició d'un punt del pla, com ara $M$, respecte de l'origen de coordenades $O$ (on ens situem nosaltres), coincideixen amb les coordenades del propi punt (afix del vector de posició), $(x_M,y_M)$, trobem que les coordenades del punt on es situa la Marta són $(1,2)$ .

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de análisis cualitativo de funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ( definida en $\mathbb{R}$ i que pren valors en $\mathbb{R}$ ) que ve representada pel traç del gràfic cartesià, determineu:

  a) El domini d'existència $\mathcal{D}$ de la funció ( conjunt de nombres que tenen imatge ). Es contínua la funció en tots els punts del domini d'existència ?
  b) Recorregut $\mathcal{R}$ de la funció ( conjunt de valors que pren la funció )
  c) L'ordenada a l'origen de la funció ( ordenada del punt d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'ordenades )
  d) Arrels de la funció ( abscisses dels punts d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'abscisses )
  e) Hi ha mínim absolut ? Si n'hi ha doneu el seu valor
  f) Hi ha algun mínim local ? Si hi és, quant val el seu valor ?
  g) Quins són els intervals de creixement de la funció
  h) Quins són els intervals de decreixement de la funció
  i) Hi ha màxim absolut ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor
  j) Hi ha algun màxim local ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor

Solució:

  a) Domini d'existència: $\mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}:-0,5\le x \le 4\}$
que també es pot expressar en el llenguatge d'intervals de la forma
        $\mathcal{D}=[-0,5\;,\,4]\subset \mathbb{R}$
El traç de la funció no es trenca en cap punt del domini d'existènci i, doncs, és contínua en tot el seu domini d'existència.

  b) Recorregut: $\mathcal{R}=\{y\in\mathbb{R}:-2\le y \le 5\}=[-2\;,\,5]\subset \mathbb{R}$

  c) L'ordenada a l'origen de la funció és $3$

  d) Les arrels de la funció són $1$, $3$ i $3,6$ ( l'última és aproximada)

  e) Hi ha mínim absolut ( el menor valor que pren la funció ) i val $-2$

  f) La funció presenta un mínim local ( en els mínims locals la funció passa de ser decreixent a ser creixent ) que pren el valor $-1$

  g) Hi un sol interval de creixement: $(2\;,\;3,4)\subset \mathbb{R}$

  h) La funció és decreixent en dos intervals: $(-0,5\;,\;2)\subset \mathbb{R}$ i $(3,4\;,\;4)\subset \mathbb{R}$

  i) Hi ha màxim absolut i pren el valor $5$

  j) La funció presenta un màxim local ( on passa de ser creixent a decreixent ) i pren el valor $1$

$\square$

[nota del autor]

Cálculo de los vértices de un triángulo dadas las ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Els tres costats d'un triangle $\triangle{ABC}$ són segments de les rectes:
    $r:\,y=x+2$
    $s:\,y=-2x+4$
    $t:\,y=4$
Calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle.

Solució:
Designem per $A$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $r$ i $s$. Llavors,
    $A: \left\{\begin{matrix}y & = & x & + & 2\\ \\y & = & -2\,x & + & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_A=\dfrac{2}{3}\\ \\y_A=\dfrac{8}{3}\\\end{matrix}\right.$

Designem per $B$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $s$ i $t$. Llavors,
    $B: \left\{\begin{matrix}y & = & -2\,x & + & 4\\ \\y & = & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_B=0\\ \\y_B=4\\\end{matrix}\right.$

Designem per $C$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $r$ i $t$. Llavors,
    $C: \left\{\begin{matrix}y & = & x & + & 2\\ \\y & = & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_C=2\\ \\y_C=4\\\end{matrix}\right.$

Representem el gràfic amb l'objectiu didàctic de visualitzar gràficament la solució:

Resumint:
  Les coordenades dels vèrtexs del triangle $\triangle{ABC}$ són:
    $A\big(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3}\big)$
    $B(0,4)$
    $C(2,4)$



$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de trazo ( gráfico ) en un diagrama cartesiano que no representan una función. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una correspondència definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, el gràfic cartesià de la qual és una recta perpendicular a l'eix d'abscisses. Podem dir que és una funció aquesta correspondència ?.

Nota:     Recordem que una correspondència entre un conjunt $A$ i un conjunt $B$ és aplicació (aquí, funció numèrica) si a cada element de $A$ li correspon $0$ ó $1$ element de $B$.

Solució:
Si $P(k,0)$ és el punt d'intersecció de la recta $r$ [ que és perpendicular a l'eix $Ox$ i que, per tant, té per equació $r:\,x=k$ ( on $k$ és una constant ) ] amb l'eix d'abcsisses, és clar que aquesta correspondència no és una funció ( o aplicació ), perquè a un mateix ( i únic) valor $k$ del conjunt original li correspon infinits nombres reals com a imatge.
$\square$

[nota del autor]

Comentarios sobre la noción de concavidad y convexidad en el contexto del estudio de funciones. ( Artículo escrito en catalán )

Un conveni força emprat per decidir si una funció $y=f(x)$ és convexa en un punt $P$ és el següent: si qualsevol recta secant a la corba, paral·lela a la recta tangent que passa pel punt $P$, queda pel damunt de la recta tangent a $P$, hom diu que la corba és convexa en $P$; en cas contrari, hom diu que la corba és còncava en el punt $P$. En alguns llibres, no obstant això, el conveni és just el contrari. En aquest blog, faig ús del referit a dalt. Exemples senzills: a) direm que la paràbola $y=x^2$ és una corba convexa en tots els seus punts ( en cada punt, les rectes secants sempre queden pel damunt de la recta tangent), b) la paràbola $y=-x^2$ és una corba còncava en tots els seus punts ( en cada punt, les rectes secants sempre queden per sota de la recta tangent), c) la corba corresponent a $y=x^3$ és còncava per a tots els punts d'abscissa negativa i convexa per a tots els punts d'abscissa positiva ( en $x=0$ no és còncava ni convexa: és un punt d'inflexió, on justament canvia el comportament).
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de resolución de ecuaciones con ayuda del programa MAXIMA. ( artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Un ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un recipient en forma de cub té la base inferior oberta. Submergim al mar aquest cub, que està ple d'aire i que té un volum de $1\,\text{m}^3$ ( conté mil litres d'aire ), fent-lo descendir verticalment, cap per avall, amb la cara oberta paral·lela a la superfície del mar, fins una profunditat on la pressió hidrostàtica té un valor triple al de la pressió atmosfèrica, quan es troba a la superfície del mar. Quin volum ocupa l'aire del recipient a aquesta profunditat ?

Nota:
  Quan el submergim el recipient, mantenim el recipient amb la base paral·lela a la superfície de l'aigua, sense inclinar-lo, per tal que no hi entri aigua per les vores. El nivell de l'aigua dins del recipient augmenta únicament degut a la pressió hidrostàtica.

A mida que anem submergint el recipient, la pressió creixent va reduint el volum de l'aire a l'interior del recipient ( el nivell de l'aigua, que entra per la base, oberta, va augment i comprimint l'aire ); és a dir, les magnituds pressió i volum, dins del recipient, estan en relació inversa: en augmentar la pressió, disminueix el volum ocupat per l'aire. Sabem que si es considera l'aire ( aproximació ) como un gas ideal, llavors es compleix la llei de Boyle-Mariotte:
                $p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}=p_{3}\,v_{3}=\ldots = \text{constant}$

Observació:
Entre dues situacions, doncs, podem escriure
    $p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}$
relació en la qual, efectivament, identifiquem formalment la de les magnituds inversament proporcionals perquè, a més a més del que s'ha dit a la nota adjunta ( $ p \propto \frac{1}{v}$ ), podem escriure aquesta igualtat també així

                                    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

Solució:
De la relació de proporcionalitat inversa entre les magnituds pressió $p$ i volum $v$ ( comentada a l'observació i a la nota adjunta a l'enunciat del problema)

                                    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

i tenint en compte les dades numèriques
  $p_2=3\,p_1$
  $v_1=1 \, \text{m}^3$

trobem que

    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{1}}=\dfrac{\;3\,p_{1}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

i d'aquí,

    $3\,p_{1}\,v_{2}=p_{1}$

simplificant

    $3\,v_{2}=1$

d'on

    $v_{2}=\dfrac{1}{3} \, \text{m}^3$

        $\approx 333 \, \text{dm}^3$

$\square$

[nota del autor]

Resolución del problema de los aniversarios empleando ( como herramienta de cálculo ) una calculadora programable. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Un grup de $n$ persones es troben reunides en una festa. Quant val la probabilitat que almenys dues d'aquestes persones compleixin anys el mateix dia de l'any ?

Resolució:
Per la propietat del contrario s'ha de complir que
P("almenys dues persones facin anys el mateix dia de l'any") =
1-P("no hi hagi coincidència")

Suposant, primer que tot, que el nombre n de persones sigui igual a 365 la probabilitat que no hi hagi cap coincidència és igual a
(365/365)(364/365)(363/365)...(1/365)

Aquest resultat es pot generalitzar per a qualsevol n (n<=365) fent el producte successiu: PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)

Per tant la probabilidad demanada és igual a
1-PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)

Particularitzant per dos casos significatius (n=2 y n=365) (he fet servir una calculadora TI Voyage200 ... DERIVE) obtindrem la probabilitat demanada:

a) PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)|n=365
-----> pràcticament és igual a la unidad, como era de esperar

b) PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)|n=2
-----> 0.0027
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de función inyectiva, exhaustiva y biyectiva. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
1.
Determineu el camp ( o domini ) d'existència, $D_f$, i el recorregut $R_f$, de la funció
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left|\sqrt{x^2-4}\right|$

2. Tal com es defineix aquesta funció:
a) És injectiva ?
b) És exhaustiva ?
c) És bijectiva ?

Solució:

1.
La funció està definida per a valors de $x$ més grans o iguals a $2$ o bé per a valors de $x$ més petits o iguals que $-2$, és a dir,
    $D_f=\{x\in \mathbb{R} : \left|x\right| \ge 2 \}$
Per altra banda, la funció recorre tots el nombres reals a excepció dels nombres negatius, llavors el recorregut de la funció ( o conjunt imatge de $f$ ) és
    $R_f=\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$

2.
  a)
No és injectiva perquè per a cada valor del recorregut li correspon dues antiimatges ( dos valors diferents del domini d'existència); per exemple,
    $f(2)=f(-2)=0$
    $f(3)=f(-3)=\left|\sqrt{5}\right|$
    $f(4)=f(-4)=2\,\left|\sqrt{3}\right|$
    $\ldots$

  b)
No hi ha cap element del recorregut $R_f \subset \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ que no tingui antiimatge, per tant $f$ és exhaustiva

  d)
Una funció és bijectiva si, i només si, és injectiva i exhaustiva; per tant, la funció donada, en no ser injectiva, no és bijectiva.

$\square$

[nota del autor]