Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas. ( Artículo escrito en catalán ).

Producte cartesià de dos conjunts:
Donats dos conjunts
$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$
i
$B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\}$
anomenem producte cartesià de $A$ per $B$ i es designa per $A \times B$ al conjunt $n\cdot m$ de parells ordenats
$A \times B= \{(a_i,b_j): i=1,2,3,\ldots,n \quad j=1,2,3,\ldots, m\}$

Relació binària:
Donats dos conjunts $A$ i $B$, i el seu producte cartesià $A \times B$, es defineix una relació binària $\mathcal{R}$ entre els conjunts $A$ i $B$ com un subconjunt $G$ de $A \times B$. Llavors, donat un parell ordenat $(x,y) \in G$, direm que $x$ està relacionat amb $y$ ( o que a $x$ li correspon $y$ ) i s'expressa $x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y $.

La representació gràfica del conjunt de parells ordenats $G=\{(x,y)| x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y \;,\; x\in A \; i \; y\in B\}$ s'anomena graf de la relació binària entre $A$ ( conjunt inicial o de partida ) i $B$ ( conjunt final o d'arribada ).

Donada, doncs, la relació binària $\mathcal{R}$, al conjunt d'elements $\{x: (x,.)\in G \subset A \times B \}$, és a dir, als elements de $A$ als quals els correspon algun element de $B$ per la relació binària $\mathcal{R}$ s'amena conjunt objecte ( o domini de $\mathcal{R}$ ) i al subconjunt de $B$ format pels elements que són imatge d'algun element del conjunt objecte ( és a dir el conjunt de les antiimatges ) s'anomena conjunt imatge.

Relacions funcionals (aplicacions):
Si a cada element del conjunt objecte li correspon $0$ o $1$ element del conjunt imatge direm que la relació binària $\mathcal{R}$ definida entre $A$ i $B$ és de tipus funcional ( o que $\mathcal{R}$ és una aplicació ). Tractant-se d'una aplicació ( o relació funcional ) el conjunt objecte s'anomena domini d'existència ( o camp d'existència ), i, al conjunt imatge recorregut.

Aplicacions entre conjunts numèrics (funcions numèriques):
En particular, si els conjunts d'inici i d'arribada ( i, per tant, el camp d'existència i el recorregut ) són conjunts numèrics, parlarem de funcions numèriques.

Exemples de relacions binàries que són aplicacions:
Exemple:   Una successió com ara la de terme general $f(n)=n+1$ és una aplicació definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ ) i, per tant, és una funció numèrica; el seu gràfic és un conjunt de punts aïllats i, per això, anomenem a aquest tipus de funcions ( com ara, les successions ), funcions discretes.

Exemple:   Una aplicació definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) , com ara, $f(x)=x+1$ és una funció numèrica ( el gràfic és una recta, i el seu gràfic és un traç continu).

Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$ ( valor absolut de l'arrel quadrada ) és una aplicació ( funció numèrica) ja que la presència de l'operació valor absolut evita que hi hagi dues imatges per a un mateix valor $x$ del domini d'existència, la qual cosa la invalidaria com aplicació.

Exemples de relacions binàries que no són aplicacions:
Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\sqrt{x}$ ( arrel quadrada ) no és una aplicació perquè és bivaluada ( a un mateix element del conjunt objecte li corresponen dues imatges: una positiva i l'altra negativa; per exemple, $\sqrt{4}=\pm 2$ ).

Tipus de funcions (aplicacions):
Una funció pot ser:
  aplicacions injectives
Una funció $f$ és injectiva si donats dos o més valors iguals del seu recorregut ( codomini ), llavors les seves antiimatges també són iguals.
  aplicacions exhaustives
Una funció $f$ és exhaustiva si per ta tot valor del seu recorregut ( o codomini ) existeix antitimatge.
  aplicacions bijectives
Una funció $f$ és bijectiva si és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen un únic valor com antiimatge: $x_{k}=y_{k}-1$ .


Exemple de funció que no és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $f(x)=x^2$ no és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen dues antiimatges $+\left|\sqrt{y_k}\right|$   i   $-\left|\sqrt{y_k}\right|$; per exemple, donat $y_{k}=4$, trobem dues antiimatges diferents: $x_{k_1}=-2$ i $x_{k_2}=2$.

Exemple de funció que és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a qualsevol parell de valors iguals del seu recorregut ( $y_1 = y_2$ ), llavors les respectives antiimatges ( $x_1=y_1-1$   i &   $x_2=y_2-1$ ) també són iguals.

Exemple de funció que no és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és exhaustiva perquè tots els valors negatius del seu recorregut ( que és, segons la definició, $\mathbb{R}$ ), no tenen antiimatge; per exemple, $y=-1$ no té antiimatge perquè $\sqrt{-1}$ no és un nombre real.   Nota: Evidentment, si es redefineix el recorregut ( o codomini ) de la forma $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sí que és exhaustiva.

Exemple de funció que és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és bijectiva perquè és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva, atès que no és exhaustiva ni injectiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva perquè, malgrat sí que és exhaustiva en haver redefinit el recorregut (vegeu un exemple anterior), no és injectiva.

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de función inyectiva, exhaustiva y biyectiva. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
1.
Determineu el camp ( o domini ) d'existència, $D_f$, i el recorregut $R_f$, de la funció
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left|\sqrt{x^2-4}\right|$

2. Tal com es defineix aquesta funció:
a) És injectiva ?
b) És exhaustiva ?
c) És bijectiva ?

Solució:

1.
La funció està definida per a valors de $x$ més grans o iguals a $2$ o bé per a valors de $x$ més petits o iguals que $-2$, és a dir,
    $D_f=\{x\in \mathbb{R} : \left|x\right| \ge 2 \}$
Per altra banda, la funció recorre tots el nombres reals a excepció dels nombres negatius, llavors el recorregut de la funció ( o conjunt imatge de $f$ ) és
    $R_f=\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$

2.
  a)
No és injectiva perquè per a cada valor del recorregut li correspon dues antiimatges ( dos valors diferents del domini d'existència); per exemple,
    $f(2)=f(-2)=0$
    $f(3)=f(-3)=\left|\sqrt{5}\right|$
    $f(4)=f(-4)=2\,\left|\sqrt{3}\right|$
    $\ldots$

  b)
No hi ha cap element del recorregut $R_f \subset \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ que no tingui antiimatge, per tant $f$ és exhaustiva

  d)
Una funció és bijectiva si, i només si, és injectiva i exhaustiva; per tant, la funció donada, en no ser injectiva, no és bijectiva.

$\square$

[nota del autor]