Haz de rectas paralelas en una dirección dada

Sabemos que una recta viene determinada por un punto y un vector en su misma dirección. Así que si, fijada una dirección, esto es, un vector director de la misma, si dejamos libre el punto de manera que una recta en la dirección fijada se desplace paralelamente a sí misma podemos escribir las rectas del hazd de rectas paralelas en forma vectorial: $\mathcal{H}\equiv (x,y)=(x',y')+\lambda (u_x,u_y)$, donde $\lambda$ es el parámetro ( $\lambda \in \mathbb{R}$ ) de dicha ecuación vectorial y $u_x$ y $u_y$ son son las coordenadas del vector, que aparecen ahora como datos.

A partir de dicha ecuación vectorial podemos escribir las ecuaciones paramétrica de cualquier recta del haz $$\left\{\begin{matrix}x=x'+\lambda\,u_x \\ y=x'+\lambda\,u_y \end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $\lambda$ e igualando los segundos miembros de las dos ecuaciones obtenidas llegamos a la ecuación enforma continua $$\dfrac{x-x'}{u_x}=\dfrac{y-y'}{u_y}$$ y, de aquí, podemos escribir la ecuación del haz de rectas paralelas en la dirección del vector $\vec{u}=(u_x,u_y)$ la forma $$\mathcal{H}\equiv u_{y}\,(x-x')= u_{y}\,(y-y') \quad \quad \,m,n\in \mathbb{R}, \text{constantes}$$

EJEMPLO. Se considera el haz de rectas paralelas en la dirección del vector $\vec{u}=(3,2)$. Se pide:
a) Escribir la ecuación del haz
b) Determinar la ecuación de la recta del haz que contiene al punto $Q(5,6)$. Hallar otro punto de dicha recta, distinto de $Q$

SOLUCIÓN.
a) $$\mathcal{H}\equiv 2,(x-x')= 3\,(y-y')\,; \,\forall x',y'\in \mathbb{R}$$

b) Sustituyendo $x'$ e $y'$ por las coordenadas de $Q$ obtenemos $2\,(x-5)=3\,(y-6)$ y de ahí la ecuación de dicha recta en forma continua, $$r_{Q}\equiv \dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y-6}{2}$$
Dando ahora un valor cualquiera a una de las dos variables, pongamos que $x:=8$ y despejando la otra variable, obtenemos $y=2\cdot \dfrac{8-5}{3}+6=8$; así, un punto de la recta $r_Q$ distinto del punto $Q$ es $R(8,8)$

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Haz de rectas que se cortan en un punto

Sabemos que una recta viene determinada por un punto y un vector en su misma dirección. Así que si, fijado un punto, dejamos libre el vector de manera que apunte en todas las direcciones del plano podemos escribir las rectas del haz en forma vectorial: $\mathcal{H}\equiv (x,y)=(x_P,y_P)+\lambda\,(m,n)$, donde $\lambda$ es el parámetro ( $\lambda \in \mathbb{R}$ ) de dicha ecuación vectorial y $m$ y $n$ son son las coordenadas del vector.

A partir de dicha ecuación vectorial podemos escribir las ecuaciones paramétrica de cualquier recta del haz $$\left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\,m \\ y=y_P+\lambda\,n \end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $\lambda$ e igualando los segundos miembros de las dos ecuaciones obtenidas llegamos a la ecuación enforma continua $$\dfrac{x-x_P}{m}=\dfrac{y-y_P}{n}$$ y, de aquí, podemos escribir la ecuación del haz de rectas que se cortan en el punto $P(x_P,y_P)$ de la forma $$\mathcal{H}\equiv n\,(x-x_P)= m\,(y-y_P) \quad \quad m,n\in \mathbb{R}$$

EJEMPLO. Se considera el haz de rectas que se cortan en el punto $P(1,2)$. Se pide:
a) Escribir la ecuación del haz
b) Determinar la ecuación de la recta del haz que contiene al punto $Q(-1,3)$. Hallar la pendiente de dicha recta y un vector director de la misma

SOLUCIÓN.
a) $$\mathcal{H}\equiv n\,(x-1)= m\,(y-2)\,; \,\forall m,n\in \mathbb{R}$$

b) Sustituyendo $x$ e $y$ por las coordenadas de $Q$ obtenemos $n\,(-1-1)=m\,(3-2)$, esto es $-2n=m$, con lo cual la recta pedida vendrá descrita por $$n\,(x-1)=-2n\,(y-2)$$ y dividiendo ambos miembros por $n$, deducimos que la recta $r_Q \in \mathcal{H}$ tiene por ecuación $$r_Q\equiv x-1=\dfrac{y-2}{-1/2} \sim \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}$$ de donde deducimos que la pendiente de dicha recta es $-\dfrac{1}{2}$ y un vector director de la misma es $\vec{u}_{r_{Q}}=(2,-1)$
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Ejercicio con vectores. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La Marta, que s'amaga en un punt del pla $M$, ens diu que les coordenades cartesianes del punt del pla $A$ on es troba l'Albert ( relatives al sistema de referència amb origen en el punt del pla on ella es troba ) són: $(6,1)$. Per altra banda, sabem que les coordenades de la posició de l'Albert, segons el nostre propi sistema de referència, amb origen de coordenades en el punt $O$, són $(7,3)$. On és la Marta ? Quines són les coordenades del punt $M$ relatives al nostre sistema de referència, amb origen en el punt $O$ ?.

Solució:
Observem el triangle vectorial de la figura:

Llavors es complirà
    $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$
d'on es dedueix que
    $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{MA}$

Per tant, tindrem la següent relació entre les coordenades dels vectors de posició dels tres punts del pla:
    $(x_{M},y_M)=(7,3)-(6,1)$
és a dir, les coordenades/components del vector de posició de $M$ respecte de punt $O$ (on nosaltres estem situats) són
    $(x_{M},y_M)=(7-6,3-1)=(1,2)$

Tenint en compte, ara, que les coordenades/components dels vectors de posició d'un punt del pla, com ara $M$, respecte de l'origen de coordenades $O$ (on ens situem nosaltres), coincideixen amb les coordenades del propi punt (afix del vector de posició), $(x_M,y_M)$, trobem que les coordenades del punt on es situa la Marta són $(1,2)$ .

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[nota del autor]