Enunciat:
Un recipient en forma de cub té la base inferior oberta. Submergim al mar aquest cub, que està ple d'aire i que té un volum de $1\,\text{m}^3$ ( conté mil litres d'aire ), fent-lo descendir verticalment, cap per avall, amb la cara oberta paral·lela a la superfície del mar, fins una profunditat on la pressió hidrostàtica té un valor triple al de la pressió atmosfèrica, quan es troba a la superfície del mar. Quin volum ocupa l'aire del recipient a aquesta profunditat ?
Nota:
Quan el submergim el recipient, mantenim el recipient amb la base paral·lela a la superfície de l'aigua, sense inclinar-lo, per tal que no hi entri aigua per les vores. El nivell de l'aigua dins del recipient augmenta únicament degut a la pressió hidrostàtica.
A mida que anem submergint el recipient, la pressió creixent va reduint el volum de l'aire a l'interior del recipient ( el nivell de l'aigua, que entra per la base, oberta, va augment i comprimint l'aire ); és a dir, les magnituds pressió i volum, dins del recipient, estan en relació inversa: en augmentar la pressió, disminueix el volum ocupat per l'aire. Sabem que si es considera l'aire ( aproximació ) como un gas ideal, llavors es compleix la llei de Boyle-Mariotte:
$p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}=p_{3}\,v_{3}=\ldots = \text{constant}$
Observació:
Entre dues situacions, doncs, podem escriure
$p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}$
relació en la qual, efectivament, identifiquem formalment la de les magnituds inversament proporcionals perquè, a més a més del que s'ha dit a la nota adjunta ( $ p \propto \frac{1}{v}$ ), podem escriure aquesta igualtat també així
$\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$
Solució:
De la relació de proporcionalitat inversa entre les magnituds pressió $p$ i volum $v$ ( comentada a l'observació i a la nota adjunta a l'enunciat del problema)
$\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$
i tenint en compte les dades numèriques
$p_2=3\,p_1$
$v_1=1 \, \text{m}^3$
trobem que
$\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{1}}=\dfrac{\;3\,p_{1}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$
i d'aquí,
$3\,p_{1}\,v_{2}=p_{1}$
simplificant
$3\,v_{2}=1$
d'on
$v_{2}=\dfrac{1}{3} \, \text{m}^3$
$\approx 333 \, \text{dm}^3$
$\square$
