Un ejemplo de resolución de ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

Extracción de común denominador en una suma de fracciones algebraicas ( ejemplos de uso de MAXIMA ). (Artículo escrito en catalán )

Exemple 1
Extracció de denominador comú:

Considerem la suma de raccions algèbriques
$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x^2-1}$

Si volem expressar-la com una sola fracció farem
        (%i1) ratsimp(1/(x+1)+1/(x^2-1));

i MAXIMA respon

        (%o1) ${{x} \over{x^2-1} }$

Exemple 2
Desenvolupant una expressió trigonomètrica:

Considerem la raó suma de dos angles
$\sin{(x+y)}$

Si volem desenvolupar-la (obtindrem l'expressió de la identitat coneguda) farem
        (%i2) trigexpand(sin(x+y);

i MAXIMA respon

        (%o2) $\cos x\,\sin y+\sin x\,\cos y$

I, viceversa, si volem compactar l'expressió, escriurem
        (%i3) trigreduce(%o2);

i obtindrem

        (%o3) $\cos{(x+y)}$

[nota del autor]

Descomposición de una fracción algebraica impropia como suma de un polinomio y una fracción algebraica propia. ( Artículo escrito en catalán ).

ENUNCIADO.
Expresar la siguiente fracción algebraica impropia como suma de un polinomio y una fracción algebraica propia
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}$

SOLUCIÓN.
Realizando la división $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
encontramos que el polinomio cociente es $x$, y que el polinomio resto és $2\,x+1$
con lo cual, por el teorema de la división de polinomios, podemos escribir:
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
$\square$

Ejercicio de descomposición de una fracción algebraica en suma de fracciones algebraicas simples

ENUNCIADO
Descomponer en suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)} \quad \quad \text{on} \; a,b \in \mathbb{R} \; \text{siendo}\; a \neq b$

SOLUCIÓN.
Es necesario determinar el valor de los coeficientes $m,n \in \mathbb{R}$ tales que
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro de la igualdad, vemos que
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
con lo cual
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
esto es
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
e igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros de la igualdad, se llega al siguiente sistema de ecuaciones
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, obtenemos
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
y
    $n=\dfrac{1}{a-b}$
Con lo cual podremos escribir:
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{1}{b-a}\,\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{a-b}\,\dfrac{1}{x+b}$
$\square$