Enunciat
Esbrineu si les següents funcions són periòdiques:
a) g(x)=x\,\sin \,x
b) h(x)=\sin^{2} \,x
Nota 1: Recordem que una funció f ( definida en \mathbb{R} i amb valors en \mathbb{R} ) és periòdica si, per a tot x \in \text{D}_f, existeix un nombre real T \in \text{D}_{f} | f(x+T)=f(x).
Nota 2: La funció sinus és periòdica, atès que \sin \,x = \sin (x + T) amb període T = 2\,\pi \; \text{rad}.
Solució:
a) Si g és periòdica, de període T, s'ha de complir que g(x+T)=g(x) però g(x+T)=(x+T)\cdot \sin\,(x+T)=(x+T)\cdot \sin\,x \neq x\,\sin\,x
Arribem, doncs, a la conclusió que g no és una funció periòdica.
b) Si h és periòdica, de període T, s'ha de complir que h(x+T)=h(x), i, efectivament,
h(x+T)=\sin^{2}{(x+T)}=\sin{(x+T)}\cdot \sin{(x+T)}
=\sin\,x \cdot \sin\, x = \sin^{2}\,x = h(x)
concloem que h es una funció periòdica.
\square
