Enunciat:
Trobeu el domini d'existència (domini de definició) i el recorregut de les funcions:
a) $f(x)=2x+3$
b) $g(x)=3^{x+1}-1$
c) $h(x)=2\,\ln{(x-1)+2}$
Solució:
Propietat:
Per trobar el recorregut d'una funció $f$ bijectiva ( injectiva i exhaustiva ), de funció recíproca $f^{-1}$ ( que la té si la función $f$ es bijectiva ), podem fer servir la següent propietat:
$R_f=D_{f^{-1}}$
que es fa ben evident observant la figura
a)
La funció $f$ és una funció lineal afí, llavors tant el domini d'existència com el recorregut correspon al conjunt dels nombres reals, sense restriccions:
$D_{f}=\mathbb{R}$ , $R_{f}=D_{f^{-1}}=[0,\infty) \subset \mathbb{R}$
b)
El domini d'existència de la funció $g$ és
$D_{g}=[2,\infty) \subset \mathbb{R}$
La funció recíproca de $g$ és
$g^{-1}(x)=\frac{\ln{(x+1)}}{\ln{3}}-1$
Com que l'argmuent del logaritme ha de ser positiu
$D_{g^{-1}}=(-1,\infty) \subset \mathbb{R}$
fent ús de la propietat comentada al començament tenim que
$R_{g}=D_{g^{-1}}=(-1,\infty) \subset \mathbb{R}$
c)
El domini d'existència de la funció $h$ és
$D_{h}=\mathbb{R}$
La funció recíproca de $h$ és
$\displaystyle h^{-1}(x)=e^{\frac{x-2}{2}}+1$
No hi ha cap restricció en el conjunt de nombres reals, per tant, el seu domini d'existència és
$D_{h^{-1}}=\mathbb{R}$
fent ús de la propietat comentada al començament tenim que
$R_{h}=D_{h^{-1}}=\mathbb{R}$
$\square$
