ENUNCIADO
Descomponer en suma de fraccions
\dfrac{1}{(x+b)(x+a)} \quad \quad \text{on} \; a,b \in \mathbb{R} \; \text{siendo}\; a \neq b
SOLUCIÓN.
Es necesario determinar el valor de los coeficientes m,n \in \mathbb{R} tales que
\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro de la igualdad, vemos que
\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}
con lo cual
\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}
esto es
\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}
e igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros de la igualdad, se llega al siguiente sistema de ecuaciones
\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}
y, resolviéndolo, obtenemos
m=\dfrac{1}{b-a}
y
n=\dfrac{1}{a-b}
Con lo cual podremos escribir:
\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{1}{b-a}\,\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{a-b}\,\dfrac{1}{x+b}
\square
