ENUNCIADO
Descomponer en suma de fraccions
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)} \quad \quad \text{on} \; a,b \in \mathbb{R} \; \text{siendo}\; a \neq b$
SOLUCIÓN.
Es necesario determinar el valor de los coeficientes $m,n \in \mathbb{R}$ tales que
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro de la igualdad, vemos que
$\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
con lo cual
$\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
esto es
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
e igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros de la igualdad, se llega al siguiente sistema de ecuaciones
$\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, obtenemos
$m=\dfrac{1}{b-a}$
y
$n=\dfrac{1}{a-b}$
Con lo cual podremos escribir:
$\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{1}{b-a}\,\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{a-b}\,\dfrac{1}{x+b}$
$\square$
