Enunciat:
1.
Determineu el camp ( o domini ) d'existència, $D_f$, i el recorregut $R_f$, de la funció
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left|\sqrt{x^2-4}\right|$
2. Tal com es defineix aquesta funció:
a) És injectiva ?
b) És exhaustiva ?
c) És bijectiva ?
Solució:
1.
La funció està definida per a valors de $x$ més grans o iguals a $2$ o bé per a valors de $x$ més petits o iguals que $-2$, és a dir,
$D_f=\{x\in \mathbb{R} : \left|x\right| \ge 2 \}$
Per altra banda, la funció recorre tots el nombres reals a excepció dels nombres negatius, llavors el recorregut de la funció ( o conjunt imatge de $f$ ) és
$R_f=\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$
2.
a)
No és injectiva perquè per a cada valor del recorregut li correspon dues antiimatges ( dos valors diferents del domini d'existència); per exemple,
$f(2)=f(-2)=0$
$f(3)=f(-3)=\left|\sqrt{5}\right|$
$f(4)=f(-4)=2\,\left|\sqrt{3}\right|$
$\ldots$
b)
No hi ha cap element del recorregut $R_f \subset \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ que no tingui antiimatge, per tant $f$ és exhaustiva
d)
Una funció és bijectiva si, i només si, és injectiva i exhaustiva; per tant, la funció donada, en no ser injectiva, no és bijectiva.
$\square$
