Calcular la suma de los términos consecutivos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que
      $1^2+2^2+3^2+\ldots+25^2=5525$
esbrineu el valor de la suma següent:
      $2^2+4^2+6^2+\ldots+50^2$

Solució:
Observem que en els termes de la suma hi ha el següent patró (regularitat):
    $2^2=4=4\cdot 1=4 \cdot 1^2$
    $4^2=16=4 \cdot 4= 4\cdot 2^2$
    $6^2=36=4 \cdot 9= 4\cdot 3^2$
    $8^2=64=4 \cdot 16= 4\cdot 4^2$
    $10^2=100=4 \cdot 25= 4\cdot 5^2$
    $\ldots$
    $50^2=\ldots=4\cdot 25^2$
és a dir
      $2^2+4^2+6^2+\ldots+50^2$ és igual a
        $4\cdot 1^2+4\cdot 2^2+4\cdot 3^2+4\cdot 4^2+\cdots+4\cdot 25^2$
          $=4\,\big(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+25^2\big)$
          $=4\cdot 5525$
          $=22100$
$\square$

[nota del autor]