Enunciat:
Expresseu la funció $f(x)=3^{x}$ com a suma d'una funció simètrica i una funció antisimètrica.
Solució:
Recordem que una funció $f(x)$ ( ha de ser contínua, però ) és simètrica si $f(x)=f(-x)$, i, és antisimètrica si $f(x)=-f(-x)$. Existeixen, però, funcions que no són simètriques ni antisimètriques.
Així, per exemple, la funció donada no és ni simètrica ( $ f(-x) = 3^{-x} \neq f(x)$ ) ni antisimètrica ( $ f(-x)=3^{-x} \neq - f(x)$ ).
No obstant això, és evident que qualsevol funció $f(x)$ sempre es pot escriure de la següent manera
$f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2} \quad \quad (1)$
Per altra banda, sabem que (propietat):
a) la funció $f(x)+f(-x)$ és una funció simètrica, que anomenarem $s(x)$
b) la funció $f(x)-f(-x)$ és una funció antisimètrica, que anomenarem $a(x)$
Llavors, podrem escriure (1) de la forma
$f(x)=\dfrac{s(x)+a(x)}{2}$
és a dir
$f(x)=\dfrac{s(x)}{2}+\dfrac{a(x)}{2}$
i donat que
$s(x)=3^{x}+3^{-x}$ i $a(x)=e^{x}-e^{-x}$
arribem a
$f(x)=\dfrac{3^{x}+3^{-x}}{2}+\dfrac{3^{x}-3^{-x}}{2}$
que és la suma de d'una f. simètrica (primer sumand) i d'una f. antisimètrica (segon sumand), tal com s'ha demanat.
$\square$
