Processing math: 100%

domingo, 26 de abril de 2015

Expresar la función dada como suma de una función simétrica ( par ) y de una función antisimétrica ( impar ) . ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Expresseu la funció f(x)=3^{x} com a suma d'una funció simètrica i una funció antisimètrica.

Solució:
Recordem que una funció f(x) ( ha de ser contínua, però ) és simètrica si f(x)=f(-x), i, és antisimètrica si f(x)=-f(-x). Existeixen, però, funcions que no són simètriques ni antisimètriques.

Així, per exemple, la funció donada no és ni simètrica ( f(-x) = 3^{-x} \neq f(x) ) ni antisimètrica ( f(-x)=3^{-x} \neq - f(x) ).

No obstant això, és evident que qualsevol funció f(x) sempre es pot escriure de la següent manera
    f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2} \quad \quad (1)
Per altra banda, sabem que (propietat):
    a) la funció f(x)+f(-x) és una funció simètrica, que anomenarem s(x)
    b) la funció f(x)-f(-x) és una funció antisimètrica, que anomenarem a(x)
Llavors, podrem escriure (1) de la forma
    f(x)=\dfrac{s(x)+a(x)}{2}
és a dir
      f(x)=\dfrac{s(x)}{2}+\dfrac{a(x)}{2}
i donat que
    s(x)=3^{x}+3^{-x} i a(x)=e^{x}-e^{-x}
arribem a
      f(x)=\dfrac{3^{x}+3^{-x}}{2}+\dfrac{3^{x}-3^{-x}}{2}
que és la suma de d'una f. simètrica (primer sumand) i d'una f. antisimètrica (segon sumand), tal com s'ha demanat.
\square

[nota del autor]