Enunciat
Esbrineu si les següents funcions són periòdiques:
a) $g(x)=x\,\sin \,x$
b) $h(x)=\sin^{2} \,x$
Nota 1: Recordem que una funció $f$ ( definida en $\mathbb{R}$ i amb valors en $\mathbb{R}$ ) és periòdica si, per a tot $x \in \text{D}_f$, existeix un nombre real $T \in \text{D}_{f} | f(x+T)=f(x)$.
Nota 2: La funció sinus és periòdica, atès que $\sin \,x = \sin (x + T)$ amb període $T = 2\,\pi \; \text{rad}$.
Solució:
a) Si $g$ és periòdica, de període $T$, s'ha de complir que $g(x+T)=g(x)$ però $g(x+T)=(x+T)\cdot \sin\,(x+T)=(x+T)\cdot \sin\,x \neq x\,\sin\,x$
Arribem, doncs, a la conclusió que $g$ no és una funció periòdica.
b) Si $h$ és periòdica, de període $T$, s'ha de complir que $h(x+T)=h(x)$, i, efectivament,
$h(x+T)=\sin^{2}{(x+T)}=\sin{(x+T)}\cdot \sin{(x+T)}$
$=\sin\,x \cdot \sin\, x = \sin^{2}\,x = h(x)$
concloem que $h$ es una funció periòdica.
$\square$
