Enunciat:
Donada la funció f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ( definida en \mathbb{R} i que pren valors en \mathbb{R} ) que ve representada pel traç del gràfic cartesià, determineu:
a) El domini d'existència \mathcal{D} de la funció ( conjunt de nombres que tenen imatge ). Es contínua la funció en tots els punts del domini d'existència ?
b) Recorregut \mathcal{R} de la funció ( conjunt de valors que pren la funció )
c) L'ordenada a l'origen de la funció ( ordenada del punt d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'ordenades )
d) Arrels de la funció ( abscisses dels punts d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'abscisses )
e) Hi ha mínim absolut ? Si n'hi ha doneu el seu valor
f) Hi ha algun mínim local ? Si hi és, quant val el seu valor ?
g) Quins són els intervals de creixement de la funció
h) Quins són els intervals de decreixement de la funció
i) Hi ha màxim absolut ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor
j) Hi ha algun màxim local ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor
Solució:
a) Domini d'existència: \mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}:-0,5\le x \le 4\}
que també es pot expressar en el llenguatge d'intervals de la forma
\mathcal{D}=[-0,5\;,\,4]\subset \mathbb{R}
El traç de la funció no es trenca en cap punt del domini d'existènci i, doncs, és contínua en tot el seu domini d'existència.
b) Recorregut: \mathcal{R}=\{y\in\mathbb{R}:-2\le y \le 5\}=[-2\;,\,5]\subset \mathbb{R}
c) L'ordenada a l'origen de la funció és 3
d) Les arrels de la funció són 1, 3 i 3,6 ( l'última és aproximada)
e) Hi ha mínim absolut ( el menor valor que pren la funció ) i val -2
f) La funció presenta un mínim local ( en els mínims locals la funció passa de ser decreixent a ser creixent ) que pren el valor -1
g) Hi un sol interval de creixement: (2\;,\;3,4)\subset \mathbb{R}
h) La funció és decreixent en dos intervals: (-0,5\;,\;2)\subset \mathbb{R} i (3,4\;,\;4)\subset \mathbb{R}
i) Hi ha màxim absolut i pren el valor 5
j) La funció presenta un màxim local ( on passa de ser creixent a decreixent ) i pren el valor 1
\square
