Enunciat:
Donada la funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ( definida en $\mathbb{R}$ i que pren valors en $\mathbb{R}$ ) que ve representada pel traç del gràfic cartesià, determineu:
a) El domini d'existència $\mathcal{D}$ de la funció ( conjunt de nombres que tenen imatge ). Es contínua la funció en tots els punts del domini d'existència ?
b) Recorregut $\mathcal{R}$ de la funció ( conjunt de valors que pren la funció )
c) L'ordenada a l'origen de la funció ( ordenada del punt d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'ordenades )
d) Arrels de la funció ( abscisses dels punts d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'abscisses )
e) Hi ha mínim absolut ? Si n'hi ha doneu el seu valor
f) Hi ha algun mínim local ? Si hi és, quant val el seu valor ?
g) Quins són els intervals de creixement de la funció
h) Quins són els intervals de decreixement de la funció
i) Hi ha màxim absolut ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor
j) Hi ha algun màxim local ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor
Solució:
a) Domini d'existència: $\mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}:-0,5\le x \le 4\}$
que també es pot expressar en el llenguatge d'intervals de la forma
$\mathcal{D}=[-0,5\;,\,4]\subset \mathbb{R}$
El traç de la funció no es trenca en cap punt del domini d'existènci i, doncs, és contínua en tot el seu domini d'existència.
b) Recorregut: $\mathcal{R}=\{y\in\mathbb{R}:-2\le y \le 5\}=[-2\;,\,5]\subset \mathbb{R}$
c) L'ordenada a l'origen de la funció és $3$
d) Les arrels de la funció són $1$, $3$ i $3,6$ ( l'última és aproximada)
e) Hi ha mínim absolut ( el menor valor que pren la funció ) i val $-2$
f) La funció presenta un mínim local ( en els mínims locals la funció passa de ser decreixent a ser creixent ) que pren el valor $-1$
g) Hi un sol interval de creixement: $(2\;,\;3,4)\subset \mathbb{R}$
h) La funció és decreixent en dos intervals: $(-0,5\;,\;2)\subset \mathbb{R}$ i $(3,4\;,\;4)\subset \mathbb{R}$
i) Hi ha màxim absolut i pren el valor $5$
j) La funció presenta un màxim local ( on passa de ser creixent a decreixent ) i pren el valor $1$
$\square$
