Acerca de la existencia de la función inversa de una función cuadrática

¿Por qué se puede afirmar que la función cuadrática $f(x)=x^2\, \forall x\in \mathbb{R}$ no tiene función inversa?

Una función tiene función inversa si y sólo si es biyectiva; es decir, debe ser inyectiva y sobreyectiva. Si bien la función $x^2$ es sobreyectiva, entendiendo que su recorrido (conjunto de valores imagen) es la semirrecta de los números reales $[0,+\infty)$, no es sin embargo inyectiva, puesto que para un mismo valor de la variable dependiente encontramos dos valores distintos (salvo en el punto máximo/mínimo) de la variable independiente, un valor positivo y su opuesto; por consiguiente, dicha función cuadrática no es biyectiva, luego rigurosamente se puede afirmar que las funciones cuadráticas no tienen asociadas funciones inversas.

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Observación importante:
Para que la función cuadrática $f(x)=x^2$ tuviese inversa, deberíamos redefinir su dominio de existencia para que fuese inyectiva de tal manera que éste fuese o bien $[0,+\infty)$, y en tal caso la función recíproca asociada es $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$; o bien de tal modo que el dominio fuese $(-\infty,0]$, en cuyo caso la función recíproca sería entonces, $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$. Recordemos que el recorrido de la función raíz cuadrada es, por convenio, el conjunto de los números no negativos (1). Ésto permite afirmar que, por ejemplo, para $f(x)=4$, se tiene que su antiimagen, por (1), es $f^{-1}(4)=2$, ya que la imagen de $2$ es $2^2=4$.

Nótese que, si conviniésemos que el recorrido de la raíz cuadrada fuese el conjunto de los números no positivos —que no es lo habitual—, entonces diríamos que $f^{-1}(4)=-2$, ya que la imagen de $-2$, de acuerdo a este otro convenio (no usual), es también $4$, pues $(-2)^2=4$.

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Un ejemplo de cálculo de funciones derivadas. Derivada de la función $f(x)=x^x$, definida en $0 \lt x \lt +\infty$

A efectos prácticos, escribamos la función de la forma: $y=x^x$, entendiendo bien que $y\equiv f(x)$. Tengamos claro que el dominio de definición de la función en el que trabajaremos es la semirrecta de los números reales $(0,+\infty)$. Sacando logaritmos neperianos en cada miembro:
  $\ln\,y =\ln\,x^x$, esto es, $\ln\,y=x\,\ln\,x$, y derivando en cada miembro con respecto de $x$ (la variable independiente de la función) se tiene que:
    $(\ln\,y)' =(x\,\ln\,x)'$
      $\dfrac{1}{y}\,y' =(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$
        $\dfrac{1}{y}\,y' =1\cdot \ln\,x+x\,\dfrac{1}{x}$
          $\dfrac{1}{y}\,y' =\ln\,x+1$
            $y' =(\ln\,x+1)\,y$
              $y' =(\ln\,x+1)\,x^x$
que también podemos expresar de la siguiente forma (notación):
                $f'(x) =(\ln\,x+1)\,x^x$

Cuestión:
¿Para qué valor (o valores) de $x$ se anula la función derivada? ¿Qué comportamiento tiene la función $f(x)=x^x$ a la izquierda de dicho valor (crece o decrece)? ¿Y a la derecha del mismo?

Impongamos que $f'(x)=0$. Entonces,
  $(\ln\,x+1)\,x^x=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^x=0\,\text{no tiene solución, puesto que}\, \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^x=1\gt 0\,,\, \text{y}\, x^x\gt 0 \,\forall x\neq 0\\ \text{o bien} \\ 1+\ln\,x=0 \Rightarrow \ln\,x=-1 \Rightarrow x=e^{-1}=\dfrac{1}{e} \end{matrix}\right.$
Puede comprobarse que $f'(x)\lt 0$ para $x\lt \dfrac{1}{e}\approx 0,36$ y $f'(x)\gt 0$ para $x\gt \dfrac{1}{e}$, luego la función es monótonamente decreciente a la izquierda de dicho punto y monótonamente creciente a la derecha del mismo, lo cual puede comprobarse gráficamente en la siguiente imagen:

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Otro ejemplo de resolución de una ecuación no polinómica: $x^x=x$

En este artículo voy a hablar de la ecuación $x^x=x$ por lo que se refiere a su solución en el conjunto de los números reales positivos

Veremos a continuación que hay sólo valor real en la solución, que, en particular, es un número entero:
  $x^x=x$
    $x^x\,x^{-1}=1$
      $x^{x-1}=1$
        $x^{x-1}=x^0 \Leftrightarrow x=1\,,\text{siendo}\,x\gt 0$

En la figura se muestra gráficamente la solución: la abscisa del (único) punto de intersección (en color rojo) entre la función $f(x)=x^x$ (miembro izquierdo de la ecuación, en color azul) y la función $g(x)=x$ (miembro derecho, en color naranja):

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Observación:
Notemos que, de interesarnos, además de por la soluciones positivas, también por las soluciones negativas, $-1$ satisface la ecuación; en efecto el valor numérico para el primer miembro de la ecuación es $(-1)^{-1}=\dfrac{1}{(-1)^1}=\dfrac{1}{-1}=-1$, que es igual al valor del segundo miembro.

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Otro ejemplo en el que se determinan los valores enteros de una ecuación con términos exponenciales

Para profundizar un poco en lo que trataba en el ejercicio de la entrada precedente, con la resolución de este ejercicio, me propongo mostrar cómo calcular los valores enteros que forman parte de la soloución de la ecuación $$2^x=x^2$$

Procedo de la misma manera que en el ejercicio anterior:
  $2^x=x^2$
    $\ln\,2^x=\ln\,x^2$
      $x\,\ln\,2=2\,\ln\,x$
        $\dfrac{x\,\ln\,2}{(\ln\,x)\,(\ln\,2)}=\dfrac{2\,\ln\,x}{(\ln\,x)\,(\ln\,2)}$
          $\dfrac{x}{\ln\,x}=\dfrac{2}{\ln\,2}$
Es clar que de ahí se sigue que un valor entero de la solución es $x_1=2$; pero, ojo, porqué no es el único: en efecto, démonos cuenta de que $\dfrac{2}{\ln\,2}=\dfrac{2\cdot 2}{2\,\ln\,2}=\dfrac{2^2}{\ln\,2^2}=\dfrac{4}{4}$, luego el primer miembro de la última línea en el desarrollo de la ecuación, $\dfrac{x}{\ln\,x}$, también es igual a $\dfrac{4}{\ln\,4}$, en consecuencia, otro valor entero de la solución es $x_2=4$. Fácilmente se puede comprobar que no hay más números enteros que cumplan esta condición; desde luego, no pueden ser números negativos ni cero, puesto que el logaritmo no está definido para ellos; y, por otro lado, para otros enteros positivos ya se ve que $\dfrac{x}{\ln\,x}\neq \dfrac{n}{\ln\,n}\, \forall\, n\gt 4$. Así pues, los valores enteros de la solución de la ecuación pedida son $2$ y $4$.

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Observación:
Como puede verse en la siguiente figura

las gráficas de las funciones de ambos miembros de la igualdad, $f(x)=2^x$ (en color azul) y $g(x)=x^2$ (en color naranja), muestran que hay tres valores, y no sólo dos (en el conjunto de los números reales) que constituyen la solución al completo de la ecuación (las gráficas se intersecan en tres puntos); dos de ellos, las abscisas de los puntos de intersección que son números enteros, los he encontrado fácilmente, sin embargo, el tercero, que es algo mayor que $-1$, es un número no entero, el cual no pretendo ahora determinarlo, por su mayor complicación.

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Investigando la solución de una ecuación con términos exponenciales. Cálculo de una parte de la solución (la más sencilla)

En este ejercicio me propongo investigar la ecuación $$3^x=x^3$$

Para visualizar la solución, dibujaré las gráficas de las funciones de los dos miembros de la igualdad: la función exponencial $f(x):=3^x$ (en color azul) y la función polinómica $g(x)=x^3$ (en color naranja); así, podré saber en cuántos puntos se intersecan sus trazos: las abcisas de los puntos de intersección son los valores solución de la ecuación (por supuesto, en el conjunto de los números reales). Para realizar las gráficas he utilizado la utilidad WolframAlpha.

Me doy cuenta de que las gráficas de las dos funciones se intersecan en dos puntos, luego la solución de la ecuación consta de dos valores reales: uno de ellos es un número entero, y el otro es un número no entero.

Como váis a ver enseguida es sencillo encontrar el valor entero, que es $3$, según lo que se vé en las gráficas (la abscisa del punto rojo de la derecha); sin embargo, el valor no entero (la abscisa del punto rojo de la izquierda), ya no será tan fácil calcularlo, si bien, de manera automática, el asistente que he utilizado indica en el diagrama su valor aproximado.

Omitiré en este artículo el cálculo del valor de la izquierda (que no corresponde a un número entero), y me centraré en el valor entero de la solución:
$3^x=x^3$
  $\ln\,3^x=\ln\,x^3$
    $x\,\ln\,3=3\,\ln\,x$
      $\dfrac{x\,\ln\,3}{(\ln\,x)\,(\ln\,3)}=\dfrac{3\,\ln\,x}{(\ln\,x)\,(\ln\,3)}$
        $\dfrac{x}{\ln\,x}=\dfrac{3}{\ln\,3} \Rightarrow x=3$
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Ecuaciones con términos exponenciales con una incógnita. Uso de los logaritmos para despejar la incógnita

Para resolver esta otra ecuación (con términos exponenciales) $$2^x=5\,(3^x)$$ que es muy parecida a la de la entra precedente de este blog, ya necesitaremos algo más que en aquella:

Veámoslo:
$2^x=5\,(3^x)$
  $\dfrac{2^x}{3^x}=5\,\left(\dfrac{3^x}{3^x}\right)$
    $\dfrac{2^x}{3^x}=5$
      $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=5$
        $\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\ln\,5$
          $x\,\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\,5$
            $x\,\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\,5$
              $x=\dfrac{\ln\,5}{\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)}$
                $x=\ln_{\frac{2}{3}}\,5$

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Una ecuación con términos exponenciales muy sencilla

Voy a mostrar en esta breve entrada del blog cómo resolver la ecuación (con términos exponenciales) $$2^x=3^x$$

Comencemos:
$2^x=3^x$
  $\dfrac{2^x}{3^x}=\dfrac{3^x}{3^x}$
    $\dfrac{2^x}{3^x}=1$
      $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1$
        $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 \Leftrightarrow x=0$

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Un cálculo sin calculadora

En este ejercicio de cálculo: $2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{18}$, se pide que se calcule el resultado sin ayuda de la calculadora científica. Daros cuenta de que, en otras palabras, se pide el resultado de la suma de los $18$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón igual a $2$ y primer término igual a $1$. Como bien sabréis, la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón $r$ y primer término igual a $a_1$ es, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n\,-1}{r-1}$, y, en nuestro caso, $a_1=1$, $r=2$ y $n=18$; dicha suma es pues igual $\dfrac{2^{18}-1}{2-1}=2^{18}-1$. La propuesta de calcular esta cantidad sin la ayuda de la calculadora apareció en una Olimpiada Matemática. Como veréis, con paciencia, y poco a poco, escribiendo los pasos, podemos llegar al resultado final, sin necesidad de la ayuda de la calculadora. ¿Te animas a probar a hacer cálculos similares?

$2^{18}-1=$
  $=(2^9)^2-1^2$
    $=\left(2^9-1\right)(2^9+1)$
      $=\left(512-1\right)(512+1)$
        $=511\cdot 513$
          $=(500+11)\cdot (500+13)$
            $=500^2+500\,(11+13)+11\cdot 13$
              $=250\,000+500\cdot 24+(10+1)(10+3)$
                $=250\,000+500\cdot (20+4)+(10+1)(10+3)$
                  $=250\,000+500\cdot 20+500\cdot 4+10^2+10(1+3)+1\cdot 3$
                    $=250\,000+10\,000+2\,000+100+40+3$
                      $=262\,143$
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Raíces reales y complejas de un polinomio

En el siguiente ejercicio voy a calcular todas las raíces (ya sean reales o complejas) del polinomio $P(x):=x^6-(x-1)^6$, siendo $x \in \mathbb{R}$. Observemos que, al imponer la condición necesaria de existencia de raíces de un polinomio, nos encontramos con la siguiente ecuación: $x^6-(x-1)^6=0$, siendo en realidad una ecuación polinómica de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades de cada una de ellas), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese) de la manera que ya se ya estudiado con anterioridad, y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x-1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x-1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x-1)^3\right)\left(x^3+(x-1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x-1)) (x^2+x(x-1)+(x-1)^2) (x+(x-1)) (x^2-x(x-1)+(x-1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $1\cdot (3x^2-3x+1)(2x-1)(x^2-x+1)=0 \Leftrightarrow$
            $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-1) \pm i\,\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
Éstas son pues las cinco raíces del polinomio pedido: $$\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3 - i\sqrt{3}}{6} \}$$ $\diamond$

Hablemos de cinemática

En cinemática, se define la rapidez (o celeridad) media en un intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$, como el cociente $\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$ (llamado también cociente incremental), siendo $s(t)$ la distancia a un origen del sistema referencia predeterminado (elegido). En este ejemplo, voy a calcular la rapidez media de un móvil cuya distancia a un reflector de radar (origen del sistema de referencia) se sabe que viene dada por la función $s(t)=4\,\sqrt{t^3}$, entre los instantes de tiempo $t_1=10\,\text{s}$ y $t_2=15\,\text{s}$

De acuerdo con la definición, la rapidez entre dichos instantes de tiempo es igual a $=\dfrac{4\,\sqrt{15^3}-4\,\sqrt{10^3}}{15-10} \approx 21\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Para hacernos una idea más «automovilística» serían aproximadamente $76\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Observación:
Si el incremento de tiempo del cociente lo hiciésemos cada vez más pequeño, hasta hacerlo tender a cero, a la vez que el incremento $\Delta\,s$ se hace también más pequeño, llegaríamos (en el límite) al concepto de celeridad instantánea, que en el caso de un movimiento rectilíneo no sería más que la velocidad instantánea (la velocidad en un instante $t$); y, en el caso de un movimiento no rectilíneo, deberíamos extender esa idea teniendo en cuenta el caracter vectorial de $\vec{s}$. De esta forma, podríamos hablar ya de velocidad media en el intervalo $[t_1,t_2]$: $\vec{v}_m:=\dfrac{\vec{s}(t_2)-\vec{s}(t_1)}{t_2-t_1}$ y de velocidad instantánea (en un instante $t$, donde $t_1 \le t \le t_2$): $\displaystyle \vec{v}(t):=\dfrac{\vec{s}(t)-\vec{s}(t_1)}{t-t_1}$

Otro ejercicio de resolución de ecuaciones polinómicas

$x^4=(x-1)^4$
  $x^4-(x-1)^4=0$
    $(x^2)^2-\left((x-1)^2\right)^2=0$, y como la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos (identidad):
      $\left(x^2-(x-1)^2\right)\,\left(x^2+(x-1)^2\right)=0$
        $(x^2-x^2+2x-1)\,(x^2+x^2-2x+1)=0$
          $2x-1)\,(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\ x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm i\sqrt{2}}{2}=1\pm i\end{matrix}\right.$
La solución consta pues de un valor real, $\dfrac{1}{2}$, y de dos valores complejos: $1-i$ y $1+i$.

-oOo- Nota:
  Las soluciones de la ecuación polinómica son, por supuesto, las raíces del polinomio $P(x):=x^4-(x-1)^4$. El hecho de que sólo aparezcan tres raíces es debido a que el polinomio $P(x)$ no es de grado cuatro, como podríamos pensar en un primer vistazo, sino de grado tres, pues si lo desarrollásemos en todos sus términos veríamos que los de grado cuatro se anulan, siendo tres el término de mayor grado, de ahí que aparezcan exactamente tres raíces (teorema fundamental del álgebra TFD: Todo polinomio no nulo, de una sola variable, de grado $n$ con coeficientes complejos (en particular, desde luego, pueden ser reales) tiene exactamente $n$ raíces complejas, contabilizando las multiplicidades de cada una de ellas). $\diamond$

Ejemplo de un polinomio que no tiene raíces

¿Cómo se puede justificar la afirmación de que el polinomio $P(x)=x^2+x+1$ no tiene raíces y que por tanto es un polinomio primo, sin recurrir a dibujar la gráfica del mismo?

Veamos que signo toma el polinomio sea cuál sea el valor de la variable independiente. Si $x\gt 0$, es evidente que $P(x)>0$; en el caso de que $x=0$, $P(0)=0+1\gt 0$; y, si $x\lt 0$, es claro que $x^2+x\gt 0$, pues de ser $|x|\gt 1$, $x^2\gt |x|$, con lo cual $x^2+x\gt 0$ y por tanto $x^2+x+1\gt 0$, y si $|x|\lt 1$, $x^2\lt |x|$ y por tanto $-1\lt x^2+x \lt 0$, luego $x^2+x+1\gt 0$. En consecuecia, el valor del polinomio es positivo para todo valor de $x$, luego no existe ningún valor de $x$ para el que el polinomio se anule, es decir, no tiene raíces, luego es un polinomio primo. $\diamond$

Un ejercicio con logaritmos

Como ejercicio de manejo algebraico con las propiedades de las potencias, los logaritmos, y las bases de los mismos, en este artículo voy a demostrar que la única solución real de la ecuación $25^{2x}=50$ es $\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$; y, finalmente, a partir de esta expresión exacta de la solución, calcularé una aproximación decimal de la misma, redondeando a la cuarta cifra decimal.

$25^{2x}=50$
  $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,50$
    $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,(25\cdot 2)$
      $2x\,\log_{25}\,25=\log_{25}\,25+\log_{25}\,2$
        $(2x)\cdot 1=1+\log_{25}\,2$
          $2x=1+\log_{25}\,2$
            $x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \log_{25}\,2$
              $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,(2)^{\frac{1}{2}}$
                $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$
Llegados a este punto (la primera parte ya está resuelta), conviene expresar el logaritmo de base $25$ en función de un logaritmo cuya base esté en nuestra calculadora científica básica (se supone que solamente tenemos a nuestra disposición el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal); por ejemplo, el logaritmo neperiano; para ello, démonos cuenta de que (cambio de base logarítmica) $\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}$, por consiguiente:
$$x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}\overset{\text{calculadora científica}}{\approx} 0,6077$$ $\diamond$

Un ejercicio de aplicación sobre rectas en el plano: deducción de las fórmulas para convertir una temperatura expresada en grados Celsius a la correpondiente temperatura expresada en grados Fahrenheit

En este artículo, y a modo de ejercicio de aplicación sobre (rectas en el plano), voy a ver qué relación hay entre estas dos escalas de temperatura. Para ello, y teniendo en cuenta que la relación entre las dos es de proporcionalidad, basta con tener en cuenta dos puntos, el de congelación y el de ebullición del agua (en condiciones normales de presión atmosférica): la temperatura de congelación del agua es de $0^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $32^\circ\,\text{F}$, y el de ebullición es de $100^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $212^\circ\,\text{F}$.

He representado gráficamente estos dos puntos, $A(0,21)$ y $B(100,212)$, y he dibujado la recta que pasa por sendos puntos (existe proporcionalidad entre una escala y otra) en la gráfica de la Fig. 1

Hecho ésto, bastará ahora determinar la ecuación de dicha recta. Para ello, designaré la variable independiente cuyos valores se representan en el eje de abscisas por $x$ (temperaturas expresadas en grados Celsius), y la variable dependiente por $y$ (temperaturas expresadas en grados Fahrenheit), cuyos valores se representan en el eje de ordenadas. Escribiré directamente la ecuación de la recta en forma continua, y, a partir de ésta, se podrá despejar una u otra variable, según convenga. Siendo $P(x,y)$ un punto genérico de la recta, podemos pues escribir: $$\dfrac{x-0}{100-0}=\dfrac{y-32}{212-32}$$ que, simplificando, es lo mismo que $$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y-32}{9}$$

Así que, despejando $y$, se llega a $$y=\dfrac{9}{5}\,x+32$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Celsius, calcular dicha temperatura expresada en grados Fahrenheit, que, para que sea más fácil de manejar, suele emplearse $F$ en lugar de $y$ y $C$ en lugar de $x$: $$F=\dfrac{9}{5}\,C+32 $$

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Observación 1:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Fahrenheit aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{9}{5}\,C+32 \lt 0$, esto es, si $C \lt -\dfrac{5}{9}\cdot 32 \approx -18^\circ\,\text{C}$

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Por otra parte, despejando $x$, se llega a $$x=\dfrac{5}{9}\,(y-32)$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Fahrenheit, calcular dicha temperatura expresada en grados Celsius, que, para mayor claridad, reescribimos de la forma: $$C=\dfrac{5}{9}\,(F-32) $$

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Observación 2:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Celsius aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{5}{9}\,(F-32) \lt 0$, esto es, y como cabe esperar echando un vistazo a la gráfica, si $C \lt 32^\circ\,\text{F}$

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Ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tienen en el conjunto de los números complejos

En el artículo anterior había comentado que la ecuación $1^x=2$ no tiene solución en el conjunto de los números reales. Sin embargo, sí que la tiene en el conjunto de los números complejos, tal y como voy a mostrar a continuación.

Notemos que, de acuerdo con la fórmula de Euler, $1=e^{2k\pi\,i} \, \forall\, k\in \mathbb{Z}$. Entonces, la ecuación planteada la podemos escribir de la forma $(e^{2k\pi\,i})^x=2$, esto es, $e^{2k\pi\,x\,i}=2$; así que, extrayendo logaritmos neperianos en ambos miembros, llegamos a $\ln\,\left( e^{2k\pi\,i\,x} \right)=\ln\,2$, de donde $2k\pi\,\,i\,x=\ln\,2$. Y, despejando $x$, se llega a $x=\dfrac{\ln\,2}{2k\pi\,i}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\pi}\,\forall,0\neq k\in \mathbb{Z}$; es decir, existe un número infinito de números complejos, con esa estructura, que forman la solución de la ecuación planteada. $\diamond$

Ecuaciones incompatibles en el conjunto de los números reales. Un ejemplo

Preguntémonos si existe algún número real, $x$, para el cual se cumpla la igualdad $1^x=2$. Es decir, nos planteamos resolver dicha ecuación en el conjunto de los números reales. Como vamos a ver enseguida, esta ecuación no tiene solución (es incompatible). Veámoslo:

Observemos que en el primer miembre se tiene que $1^x=1\,\forall\,x\in \mathbb{R}$, pero $1\neq 2$ (segundo miembro de la ecuación), luego la ecuación es incompatible en el conjunto de los números reales. $\diamond$

Una ecuación con términos exponenciales

En este artículo voy a resolver este ejercicio, que consiste en demostrar que la solución de la ecuación $5^x+5^x+5^x=6$ es $x=\log_{5}\,2$

Si bien, bastaría con hacer una comprobación de la supuesta solución (que también voy a hacer al final), voy a resolver la ecuación paso a paso, para ver si llego a esa cantidad, pues creo que, aunque bastaría con dicha comprobación, no desmerece para nada resolver la ecuación. Empecemos:
  $5^x+5^x+5^x=6$
    $5^x\,(1+1+1)=6$
      $3\cdot 5^x=6$
        $3\cdot 5^x=3\cdot 2$
          $5^x=2$
            $\ln\,(5^x)=\ln\,2$
              $x\,\ln\,5=\ln\,2$
                $x=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,5}$
                  $x=\log_{5}\,2$

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Comprobación:
$5^{\log_{5}\,2}+5^{\log_{5}\,2}+5^{\log_{5}\,2}\overset{?}{=}6$
Veámoslo sustituyendo la solución encontrada en lugar de $x$ en el primer miembro de la ecuación original, para ver si su valor numérico es igual a $6$. En efecto,
  $5^{\log_{5}\,2}\,(1+1+1)=3\cdot 5^{\log_5\,2}=3\cdot 2=6$. $\diamond$

Un ejercicio sobre ecuaciones no polinómico un tanto laborioso, pero muy interesante

En la misma línea que el artículo precedente, vamos a resolver (en el conjunto de los números reales) la siguiente ecuación con términos irracionales: $$x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4$$

En primer lugar, teniendo en cuenta que intervienen raíces cuadradas en los términos algebraicos, tendremos en cuenta el dominio de definición de las mismas: del segundo término del primer miembro vemos que el valor de $x-1$ ha de ser mayor no negativo, esto es, $x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$; en cuanto al segundo término, $x+1$ también ha de tomar valores no negativos, luego $x\ge -1$; y, por lo que se refiere al tercer término, es claro que sólo podremos aceptar los valores no negativos de la función $x^2-1$, es decir, los que sean menores o iguales que $-1$ y los que sean mayores o iguales que $1$. De todo ello, compatibilizando todos estos requerimientos, deducimos que $x\ge 1$, y por tanto en la solución estará compuesta por valores mayores o iguales que $1$.

Procedamos ahora a realizar las operaciones algebraicas que nos llevarán, poco a poco, a encontrar dicha solución. Sumando $-1$ en cada miembro:
  $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=3$
      $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=3$
        $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=3 \quad (1)$
Sumando $1$ en cada miembro:
  $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4+1$
    $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=5$
      $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)\,(x+1)}=5$
        $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=5 \quad (2)$
Denotemos, por comodidad de manipulación algebraica: $u:=\sqrt{x-1}$ y $v:=\sqrt{x+1}$, con lo cual, $(1)$ y $(2)$ pueden escribirse de la forma:
      $u^2+u+v+u\,v=3 \quad (1')$
      $v^2+u+v+u\,v=5 \quad (2')$
Restando $(1')$ de $(2')$, miembro a miembro, obtenemos:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $(v-u)\,(v+u)=2 \quad (3)$
Sumando $(1')$ y $(2')$, miembro a miembro, se llega a:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $u^2+v^2+2u+2v+2u\,v=8$
lo que es lo mismo que
        $(u+v)^2-2u\,v+2u+2v+2u\,v=8$
y simplificando,
        $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática en la variable $u+v$, con el propósito de hallar las raíces del polinomio del primer miembro y, a partir de las mismas factorizarlo, vemos que
        $u+v=\dfrac{-2\pm \sqrt{4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ -4\end{matrix}\right.$
con lo cual $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$ puede escribirse de la forma $(a+b-2)(a+b-(-4))=0 \quad (4)$ y, por tanto, deducimos que $a+b=2 \quad (4')$ ó (no necesariamente exlusivamente) $a+b=-4 \quad (4'')$
Sustituyendo $(4')$ en $(3)$, nos encontramos con que $2\,(v-u)=2$, es decir, $v-u=1$; y teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$, podemos escribir:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$
    $\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$
        $x+1=1^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$
          $x+1=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$
            $1=2\,\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{1}{2}=\sqrt{x-1}$
                $(\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x-1})^2$
                  $\dfrac{1}{4}=x-1$
                    $\dfrac{1}{4}+1=x$
                      $x=\dfrac{5}{4}$, que, como puede verse, es mayor que $1$, tal como debe ser; ya tenemos pues un valor de la solución, $x=\dfrac{5}{4}$, pero podría haber más. Veámoslo:
Sustituyendo $(4'')$ en $(3)$, nos encontramos con que $-4\,(v-u)=2$, luego $v-u=-\dfrac{1}{2}$; y, como hemos hecho antes, teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=-\dfrac{1}{2}$
    $\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2$
        $x+1=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\,\sqrt{x-1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
          $x+1=x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4}$
            $2-\dfrac{1}{4}=-\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{7}{4}=-\sqrt{x-1}$, con lo cual $0 \le \sqrt{x-1}=-\dfrac{7}{4} \le 0$, luego ésto, que es lo que quedaba por hacer, vemos que no conduce a ningún otro valor de la solución.
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En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $\dfrac{5}{4}$. $\diamond$

Sobre la necesidad de comprobar los valores obtenidos en la resolución de una ecuación con términos no polinómicos

En las ecuaciones con términos no polinómicos, como la del ejemplo que nos ocupa en este artículo, deberemos hacer las transformaciones algebraicas necesarias para llegar a una ecuación polinómica, que, en principio, supondremos que sabemos resolver; sin embargo, bien pudiera ser que no todos los valores solución de dicha ecuación a la que hemos ido a parar sean también valores solución de la ecuación original. Por tal motivo, siempre deberemos comprobar los valores solución de la ecuación polinómica que resolvamos, sustituyéndolos en la ecuación original para ver si se cumple la igualdad numérica correspondiente. Lo siguiente es un claro ejemplo:

$x+\sqrt{x-1}=1$
  $x-1+\sqrt{x-1}=1-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}=0$
      Denotemos $a:=\sqrt{x-1}$, con lo cual $x-1=a^2$. Entonces,
        $a^2+a=0$
          $a\,(a+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=0 \Rightarrow \sqrt{x-1}=0 \Leftrightarrow x_1=1 \\ a=-1 \Rightarrow \sqrt{x-1}=-1 \Leftrightarrow \left(\sqrt{x-1}\right)^2=(-1)^2 \Leftrightarrow x-1=1 \Leftrightarrow x_2=2 \end{matrix}\right.$
Vemos pues que la ecuación polinómica que hemos obtenido al hacer las transformaciones algebraicas consta de dos valores en su solución: $x_1=1$ y $x_2=2$. Veamos ahora &madash;paso importantísimo— si también son solución de la ecuación original:

Probemos con $x_1=1$:
  $1+\sqrt{1-1}\overset{?}{=}1$
    $1+\sqrt{0}\overset{?}{=}1$
      $1+0\overset{?}{=}1$
Como el valor del primer miembro es $1$, que coincide con el del segundo miembro, podemos afirmar que $1$ forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.

Probemos ahora con $x_1=2$:
  $1+\sqrt{2-1}\overset{?}{=}1$
    $1+\sqrt{1}\overset{?}{=}1$
      $1+1\neq 1$
Cláramente, el valor del primer miembro, que es $2$, no coincide con eel valor del segundo miembro, que es $1$; por consiguiente, podemos afirmar que $2$ no forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.

En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $1$. $\diamond$

Soluciones reales y complejas de ciertas ecuaciones polinómicas. Raíces reales y complejas de un polinomio

En este ejercicio, similar al anterior, nos proponemos encontrar todos los valores, reales o complejos, que componen la solución: $$(x-1)^3=-1$$

Recordemos que nuestro objetivo es escribir la ecuación original de manera que en un miembro tengamos un polinomio factorizado y en el otro miembro cero; de esta manera, pretendemos encontrar las raíces de dicho polinomio de una manera secilla. Dichas raíces son las soluciones de la ecuación planteada. Para facilitar la factorización, también en este ejercicio utilizaremos identidades notables; en concreto, $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$, que, como veremos, se adecúa al tipo de situación con la que nos encontraremos.

$(x-1)^3=-1$
  $(x-1)^3+1=0$
    $(x-1)^3+1^3=0$
    Empleando la identidad $(1)$, con $a:=x-1$ y $b:=1$, podemos escribir:
      $\left((x-1)+1\right)\,\left((x-1)^2-1\cdot (x-1)+1^2 \right)=0$
        $x\,(x^2-3x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=0 \\ x^2-3x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{0, \dfrac{3- i\,\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{3}}{2}\}$$ $\diamond$

Una ecuación polinómica de grado $3$

Veamos cómo resolver la siguiente ecuación polinómica de tercer grado, sin recurrir a encontrar préviamente las raíces del polinomio del primer miebro (para luego factorizar): intentaremos factorizar directamente, valíendonos de algunas identidades notables. La ecuación es la siguiente: $$x^3-x^2+12=0$$

En concreto, las identidades que, como veremos enseguida, se adecúan bien a nuestro objetivo son: $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$ y $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b) \quad (2)$. Procedamos:

$x^3-x^2+12=0$
  $x^3-x^2+2^3+2^2=0$
    $(x^3+2^3)-(x^2-2^2)=0$
      $\left((x+2)\,(x^2-2x+2^2)\right)-\left((x-2)\,(x+2)\right)=0$ (teniendo en cuenta $(1)$ en el primer término del primer miembro y $(2)$ en el segundo término)
        $(x+2)\,\left( (x^2-2x+2^2)-x+2 \right)=0$
          $(x+2)\,(x^2-3x+6)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x^2-3x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 6 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.$
Luego la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{-2, \dfrac{3- i\,\sqrt{15}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{15}}{2}\}$$ $\diamond$