a) $x^2+y^2-4x+6y+9=0$
b) $y^2-4y-4x=0$
c) $25\,x^2+m\,y^2=3600$, siendo ésta una elipse y uno de sus focos el punto $F(7,0)$
d) Una cónica con centro $C(2,2)$, con excentricidad igual a $3$, y siendo uno de sus focos el punto $F(6,2)$
SOLUCIÓN.
(a)
$x^2+y^2-4x+6y+9=0$
$(x^2-4x)+(y^2+6y)+9=0$
$((x-2)^2-4)+((y+3)^2-9)+9=0$
$(x-2)^2+(y+3)^2=4$
$(x-2)^2+(y+3)^2=2^2$
$(x-2)^2+(y-(-3))^2=2^2$
Lo obtenido arriba es la ecuación de una circuferencia, $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, centrada en $C(2,-3)$ con radio $R=2$. Y, por supuesto, la excentricidad de dicha cónica, que es un caso particular de una elipse es $\epsilon=0$.
(b)
$y^2-4y-4x=0$
$(y^2-4y)-4x=0$
$((y-2)^2-4)-4x=0$
$(y-2)^2=4x+4$
$(y-2)^2=4(x+1)$
$(y-2)^2=4(x-(-1))$
$(y-2)^2=2\cdot 2(x-(-1))$, que es del tipo $(y-y_{O'})^2=2p\,(x-x_{O'})$ y, por tanto, una parábola, con vértice en $V(-1,2)$. Además, teniendo en cuenta que la ecuación de la parábola reducida es $y^2=2px$, con vértice en el origen de coordenadas $O(0,0)$, al ser $p=2$, el foco ha de ser el punto $F(0,2)$ ), y la recta directriz, que tiene por ecuación $x=-p$, es $\text{r.d.}\equiv x=-2$. Por otra parte, el valor de la excentricidad de una parábola es $\epsilon=1$, habida cuenta de que la distancia de cualquier punto de la parábola a la recta directriz es la misma que la distancia de dicho punto al foco.
(c)
La elipse ( enunciado ) $25\,x^2+m\,y^2=3600$ ( con lo cual $m$ ha de ser positivo ), que está centrada en $O(0,0)$, puede escribirse de la forma $$\dfrac{x^2}{3600/25}+\dfrac{y^2}{3600/m}=1$$ luego, teniendo en cuenta que la ecuación de la elipse reducida es de la forma $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ ( con semieje mayor, $a$, en el eje Ox ), vemos que $a=\sqrt{3600/25}=12$ y $b=\sqrt{3600/m}$. Sabemos también que uno de los focos es $F(7,0)$, con lo cual el otro foco es $F'(-7,0)$, y $c=7$. Por otra parte, teniendo en cuenta que en una elipse $a^2=b^2+c^2$, vemos que $144=\dfrac{3600}{m}+7^2$, de donde, despejando $m$, se tiene que $m=\dfrac{720}{19}$. Por consiguiente, la excentricidad es $\epsilon \overset{\text{def}}{=}\dfrac{c}{a}=\dfrac{7}{12}$, que es menor que $1$ como debe ser. Como el valor de $b^2$ es igual a $3600/m$, resulta que $b^2=\dfrac{3600}{720/19}=95$, luego $b=\sqrt{95}$. También podemos escribir las coordenadas de los vértices: $A(a,0)$, $A'(-a,0)$; $B'(0,b)$ y $B'(0,-b)$; esto es, $A(12,0)$, $A'(-12,0)$; $B'(0,\sqrt{95})$ y $B'(0,-\sqrt{95})$. La ecuación de la elipse pedida, $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, se concreta pues de la forma $$\dfrac{x^2}{12^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{95})^2}=1$$
(d)
Como $\epsilon=3\succ 1$ la cónica pedida es una hipérbola,y teniendo en cuenta que está centrada en $C(2,2)$ podemos escribirla de la forma $$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$$ esto es $$\dfrac{(x-2)^2}{a^2}-\dfrac{(y-2)^2}{b^2}=1$$ Por otra parte, al ser uno de sus focos el punto $F(6,2)=F(c+x_C,0+y_C)$, deducimos de ello el valor de $c$, pues $6=c+2 \Rightarrow c=4$; y como $\epsilon=3=\dfrac{c}{a}$, vemos que de $4/a=3 \Rightarrow a=4/3$. Calculemos ahora el valor de $b$ teniendo encuenta que, en una hipérbola, $c^2=a^2+b^2$ y, por tanto, en el caso que nos ocupa $(4/3)^2+b^2=4^2 \Rightarrow b=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$. Así pues, ya podemos concretar la ecuación de la elipse pedida $$\dfrac{(x-2)^2}{(4/3)^2}-\dfrac{(y-2)^2}{(8\,\sqrt{2}/3)^2}=1$$
Vértices de la hipérbola:
$A(a+x_C,0+y_C) \rightarrow A(4/3+2,0+2)$ esto es $A(10/3,2)$
$A'(-a+x_C,0+y_C) \rightarrow A'(-4/3+2,0+2)$ esto es esto es $A'(2/3,2)$
$B(0+x_C,b+y_C) \rightarrow B(0+2,8\sqrt{2}/3+2)$ esto es $B(2,8\sqrt{2}/3+2)$
$B'(0+x_C,-b+y_C) \rightarrow B'(0+2,-8\sqrt{2}/3+2)$ esto es $B'(2,-8\sqrt{2}/3+2)$
rectas asíntotas:
$\text{r.a}_1\equiv \dfrac{x-2}{4/3}=\dfrac{y-2}{8\,\sqrt{2}/3}$
$\text{r.a}_2\equiv \dfrac{x-2}{-4/3}=\dfrac{y-2}{8\,\sqrt{2}/3}$
$\square$
