Cónicas. Ecuación reducida de la parábola ( vértice en el origen de coordenadas )

ENUNCIADO. Demuéstrese que la ecuación de una parábola cuya recta de simetría coincide con el eje Ox ( $y=0$ ) y cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, $V(0,0)$, y tal que éste equidista una distancia $p$ de la recta directriz $d$ ( perpendicular al eje Ox ) y del foco $F$ ( que está en el eje Ox, a la derecha del origen de coordenadas ) puede escribirse como $y^2=4px$

SOLUCIÓN. La condición para que un punto genérico $X(x,y)$ pertenezca al lugar geométrico es $$\text{dist}(d,X)=\text{dist}(X,F)$$ Teniendo en cuenta que $F(p,0)$ y que y la recta directriz tiene por ecuación $x=-p$, $$p+x=\sqrt{(x-p)^2+(y-0)^2}$$ y por tanto $$(p+x)^2=(x-p)^2+y^2$$ esto es $$x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2$$ y simplificando llegamos a $$y^2=4px$$

NOTA: En el caso de que el foco esté a la izquierda del vértice, tenemos que $F(-p,0)$ y la recta directriz tiene ahora por ecuación $x=p$; repitiendo el mismo proceso que antes, $$p+x=\sqrt{(x-(-p))^2+(y-0)^2}$$ por tanto $$(-p+x)^2=(x+p)^2+y^2$$ con lo cual $$x^2-2px+p^2=x^2+2px+p^2+y^2$$ y simplificando se obtiene $$y^2=-4px$$

OBSERVACIÓN: En lo que se ha hecho, $p$ representa la distancia del foco al vértice. Sin embargo, en algunos libros ( como por ejemplo en el libro de texto que hemos utilizado en este curso ) se da la ecuación de la parábola de la forma $$y^2=2px$$ ( habitualmente usando la misma letra '$p$' ), donde $p$ hay que interpretarla en estos casos como la mitad de la distancia del vértice al foco.