ENUNCIADO.
Clasifíquense las siguientes secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que describe las mismas
\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0
a) y^2+3x+5y-8=0
b) 2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0
c) y^2 + x - y -4 =0
d) x^2+xy+y^2-1=0
e) x^2-y^2+2xy+3=0
f) x^2+y^2+4y-x+1=0
SOLUCIÓN.
Recordemos el criterio de clasificación basado en el signo del determinante \delta=b^2-4ac
Si \delta < 0 \, \rightarrow elipse
Si \delta \succ 0 \, \rightarrow hipérbola
Si \delta = 0 \, \rightarrow parábola
[Nota: No se ha incluido ninguno de loas casos particulares de degeneración, que llevan a los casos de rectas parelelas, secantes, coincidentes, o incluso rectes imaginarias, ... , puntos]
Recordemos también que si b \ne 0, los ejes de la cónica (o la recta de simetría, si se tractase de una parábola) no son paralelos a los ejes de coordenadas.
Entonces,
a) y^2+3x+5y-8=0
b=0, a=0, c=1, por tanto \delta=0 \, \rightarrow parábola ( amb la recta de simetría paralela al eje de abscisas, puesto que b = 0 )
b) 2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0
b=0, a=2, c=4, con lo cual \delta=-32 \, \rightarrow elipse (con los ejes de la cónica paralelos a los ejes de coordenades, ya que b = 0 )
c) y^2 + x - y -4 =0
b=0, a=0, c=1, por tanto \delta=0 \, \rightarrow parábola
(siendo la recta de simetría paralela al eje de abscisas, pues b = 0 )
d) x^2+xy+y^2-1=0
b=1, a=1, c=1, d'on \delta=-4 \, \rightarrow elipse (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenades, habida cuenta de que b \ne 0 )
e) x^2-y^2+2xy+3=0
b=0, a=1, c=-1, d'on \delta=4 \, \rightarrow hipérbola (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenadas, pues b \ne 0 )
f) x^2+y^2+4y-x+1=0
b=0, a=c=1, d'on \delta=4 \, \rightarrow elipse, y, como a=c es, en particular, una circumferència (excentricitat nula).
\square
