Clasificación de secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que la describe

ENUNCIADO.
Clasifíquense las siguientes secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que describe las mismas

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

SOLUCIÓN.
Recordemos el criterio de clasificación basado en el signo del determinante $\delta=b^2-4ac$
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ elipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipérbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ parábola

[Nota: No se ha incluido ninguno de loas casos particulares de degeneración, que llevan a los casos de rectas parelelas, secantes, coincidentes, o incluso rectes imaginarias, ... , puntos]
Recordemos también que si $b \ne 0$, los ejes de la cónica (o la recta de simetría, si se tractase de una parábola) no son paralelos a los ejes de coordenadas.

Entonces,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, por tanto $\delta=0 \, \rightarrow$ parábola ( amb la recta de simetría paralela al eje de abscisas, puesto que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, con lo cual $\delta=-32 \, \rightarrow$ elipse (con los ejes de la cónica paralelos a los ejes de coordenades, ya que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, por tanto $\delta=0 \, \rightarrow$ parábola
(siendo la recta de simetría paralela al eje de abscisas, pues $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ elipse (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenades, habida cuenta de que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipérbola (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenadas, pues $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ elipse, y, como $a=c$ es, en particular, una circumferència (excentricitat nula).
$\square$