ENUNCIADO. Hállese la ecuación de una elipse con los ejes paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad $\epsilon=0,6$, con semieje mayor $a=15$, y centrada en $C(2,-1)$. Determínense los elementos notables de la misma.
SOLUCIÓN. La ecuación de la elipse en las condiciones del enunciado toma la forma $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{b^2}=1$$ Como $\epsilon = \dfrac{c}{a}$ ( donde $c$ es la semidistancia entre los focos ) tenemos que $$0,6 = \dfrac{c}{15} \Rightarrow c=9$$ por otra parte sabemos que en una elipse ha de cumplirse que $a^2=b^2+c^2$ con lo cual $$b^2=15^2-9^2=144 \Rightarrow b=12$$ Por consiguiente, la ecuación pedida es $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{12^2}=1$$ Así pues, teniendo en cuenta la traslación de la elipse reducida $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ ( centrada en el origen de coordenadas ) al punto $C(2,-1)$, las coordenadas de los dos focos son $F(9+2,0+(-1))$ y $F'(-9+2,0+(-1))$, respectivamente; esto es
$$F(11,-1) \quad \text{y}\quad F'(-7,-1)$$ Por lo que respecta a los vértices, si la elipse centrada en el origen de coordenadas $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ tiene por vértices $A(15,0)$, $A'(-15,0)$: $B(0,12)$ y $B'(0,-12)$, atendiendo a la traslación de dicha elipse al punto $C(2,-1)$, los vértices de la elipse pedida son $A(15+2,0+(-1))$, $A'(-15+2,0+(-1))$, $B(0+2,12+(-1))$ y $B'(0+2,-12+(-1))$; esto es $$A(17,-1), A'(-13,-1), B(2,11) \; \text{y}\, B'(2,-13)$$
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