Enunciat:
Classifiqueu les següents corbes còniques (seccions còniques) a partir de l'equació quadràtica general
$\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$
a) $y^2+3x+5y-8=0$
b) $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c) $y^2 + x - y -4 =0$
d) $x^2+xy+y^2-1=0$
e) $x^2-y^2+2xy+3=0$
f) $x^2+y^2+4y-x+1=0$
Solució:
Recordem el criteri de classificació (estudiat i justificat a classe)
A partir del valor
$\delta = b^2-4\,ac$
tenim les següents possibilitats:
Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ el·lipse
Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipèrbola
Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ paràbola
[No hem posat aquí els casos particulars de degeneració, que porten a rectes paral·leles, secants, coincidents, o fins i tot a rectes imaginàries, punts, etcètera]
Recordem, per altra banda, que si $b \ne 0$, els eixos de la cònica (o la recta de simetria, si es tracta d'una paràbola) no són paral·lels als eixos cartesians.
Llavors,
a) $y^2+3x+5y-8=0$
$b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola ( amb la recta de simetria paral·la a l'eix - d'abcsisses, en aquest cas - atès que $b = 0$ )
b) $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
$b=0$, $a=2$, $c=4$, d'on $\delta=-32 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades atès que $b = 0$ )
c) $y^2 + x - y -4 =0$
$b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola
(amb la recta de simetria paral·lela a un dels dos eixos de coordenades atès que $b = 0$ )
d) $x^2+xy+y^2-1=0$
$b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )
e) $x^2-y^2+2xy+3=0$
$b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipèrbola (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )
f) $x^2+y^2+4y-x+1=0$
$b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ el·lipse, i donat que $a=c$ és, com a cas particular, una circumferència (excentricitat nul·la).
$\blacksquare$
