Enunciat:
Classifiqueu les següents corbes còniques (seccions còniques) a partir de l'equació quadràtica general
\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0
a) y^2+3x+5y-8=0
b) 2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0
c) y^2 + x - y -4 =0
d) x^2+xy+y^2-1=0
e) x^2-y^2+2xy+3=0
f) x^2+y^2+4y-x+1=0
Solució:
Recordem el criteri de classificació (estudiat i justificat a classe)
A partir del valor
\delta = b^2-4\,ac
tenim les següents possibilitats:
Si \delta < 0 \, \rightarrow el·lipse
Si \delta \succ 0 \, \rightarrow hipèrbola
Si \delta = 0 \, \rightarrow paràbola
[No hem posat aquí els casos particulars de degeneració, que porten a rectes paral·leles, secants, coincidents, o fins i tot a rectes imaginàries, punts, etcètera]
Recordem, per altra banda, que si b \ne 0, els eixos de la cònica (o la recta de simetria, si es tracta d'una paràbola) no són paral·lels als eixos cartesians.
Llavors,
a) y^2+3x+5y-8=0
b=0, a=0, c=1, d'on \delta=0 \, \rightarrow paràbola ( amb la recta de simetria paral·la a l'eix - d'abcsisses, en aquest cas - atès que b = 0 )
b) 2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0
b=0, a=2, c=4, d'on \delta=-32 \, \rightarrow el·lipse (amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades atès que b = 0 )
c) y^2 + x - y -4 =0
b=0, a=0, c=1, d'on \delta=0 \, \rightarrow paràbola
(amb la recta de simetria paral·lela a un dels dos eixos de coordenades atès que b = 0 )
d) x^2+xy+y^2-1=0
b=1, a=1, c=1, d'on \delta=-4 \, \rightarrow el·lipse (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que b \ne 0 )
e) x^2-y^2+2xy+3=0
b=0, a=1, c=-1, d'on \delta=4 \, \rightarrow hipèrbola (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que b \ne 0 )
f) x^2+y^2+4y-x+1=0
b=0, a=c=1, d'on \delta=4 \, \rightarrow el·lipse, i donat que a=c és, com a cas particular, una circumferència (excentricitat nul·la).
\blacksquare
