Potenciación de números coplejos ( con exponente un número natural )

ENUNCIADO. Se considera el número complejo $z=-1+i$. Calcúlese $z^5$.

SOLUCIÓN. Como la parte real de $z$ es $-1$ y la parte imaginaria es $1$, su afijo está en el segundo cuadrante y $\text{arg}(z)=\arctan\,\left(\dfrac{1}{-1}\right)=\dfrac{3}{4}\,\pi$ rad. Y el módulo de $z$ es $|\sqrt{(-1)^2+1^2}|=|\sqrt{2}|$

Por la fórmula de De Moivre, tenemos que $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \cos\,(5\cdot \dfrac{3}{4}\,\pi) + i\,\sin\,(5\cdot \dfrac{3}{4}\,\pi) \right)$$ esto es $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \cos\,(\dfrac{15}{4}\,\pi) + i\,\sin\,(\dfrac{15}{4}\,\pi) \right)\quad \quad [1]$$ Teniendo en cuenta ahora que $\dfrac{15}{4}=3+\dfrac{3}{4}$ podemos escribir $$\dfrac{15}{4}\,\pi = 3\,\pi+\dfrac{3}{4}\,\pi = 2\,\pi + (\pi +\dfrac{3}{4}\,\pi ) = 2\,\pi + \dfrac{7}{4}\,\pi$$ siendo $\dfrac{7}{4}\,\pi=\dfrac{3}{2}\,\pi + \dfrac{1}{4}\,\pi$ y por tanto está en el cuarto cuadrante. Por consiguiene $$\cos\,(\dfrac{15}{4}\,\pi)=\cos\,(2\,\pi+\dfrac{7}{4}\,\pi)=\cos\,(\dfrac{7}{4}\,\pi)=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$ y $$\sin\,(\dfrac{15}{4}\,\pi)=\sin\,(2\,\pi+\dfrac{7}{4}\,\pi)=\sin\,(\dfrac{7}{4}\,\pi)=-\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$ luego, sustituyendo en [1], $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \dfrac{|\sqrt{2}|}{2}-i\,\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}\right)$$ y simplificando obtenemos $$z^5=\dfrac{(|\sqrt{2}|)^6}{2}\,( 1-i)=\dfrac{2^3}{2}\,(1-i)=4\,(1-i)$$
$\square$