(a) Hállese la parte real y la parte imaginaria de la siguiente expresión $z=\dfrac{2\,i^3-4\,i^2}{3+3\,i}$
(b) Hállese la longitud del lado ( en el diagrama de Argand ) del polígono que se forma al unir los afijos consecutivos de los valores de $\sqrt[3]{-3\sqrt{2}+3\,\sqrt{2}\,i}$
(c) Simplifíquese el miembro izquierdo de la igualdad $\dfrac{2-x\,i^2+3\,i^7}{4+3\,i}=a-b\,i$ y hállese $a$ y $b$ en función de $x$.
SOLUCIÓN.
(a)
$\dfrac{2\,i^3-4\,i^2}{3+3\,i}=$
$=\dfrac{2\,i^2\,(i-2)}{3(1+i)}$
$=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{i-2}{1+i}$
$=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{i-2}{1+i}\cdot \dfrac{1-i}{1-i}$
$=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{(i-2)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$
$=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-i^2+3i-2}{1-i^2}$
$=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-1+3i}{1-(-1)}$
$=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-1+3i}{2}$
$=\dfrac{1}{3}\cdot (1-3i)$
$=\dfrac{1}{3}+(-1)\, i \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\mathcal{Re}(z)=\dfrac{1}{3}\\ \mathcal{Im}(z)=-1\end{matrix}\right.$
(b)
$\sqrt[3]{-3\sqrt{2}+3\,\sqrt{2}\,i}=$
$=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\,\left( \sqrt[3]{-1+i} \right)=\left\{\begin{matrix}\left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)_{\theta_1} \\ \left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)_{\theta_2} \\ \left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)_{\theta_3}\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}\left(\sqrt[3]{6}\right)_{\theta_1} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{\theta_2} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{\theta_3}\end{matrix}\right.\overset{(1)}{=}\left\{\begin{matrix}\left(\sqrt[3]{6}\right)_{45^{\circ}} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{165^{\circ}} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{285^{\circ}}\end{matrix}\right.$
---
Aclaraciones (1):
$\theta_1=\dfrac{\text{arg}(-1+i)+360^{\circ}\cdot 0}{3}=\dfrac{135^{\circ}+360^{\circ}\cdot 0}{3}=45^{\circ}$
$\theta_2=\dfrac{\text{arg}(-1+i)+360^{\circ}\cdot 1}{3}=\dfrac{135^{\circ}+360^{\circ}\cdot 1}{3}=165^{\circ}$
$\theta_3=\dfrac{\text{arg}(-1+i)+360^{\circ}\cdot 12}{3}=\dfrac{135^{\circ}+360^{\circ}\cdot 2}{3}=285^{\circ}$
---
Los ángulos centrales son igual a $165^{\circ}-45^{\circ}=285^{\circ}-165^{\circ}=55^{\circ}+(360^{\circ}-285^{\circ})=120^{\circ}$, por lo que los ángulos interiores del polígono regular que se forma uniendo los afijos consecutivos son de $60^{\circ}$ y por tanto, el polígono que se forma es un triángulo equilátero. Podemos resumir los resultados encontrados en la siguiente figura.
El radio de la circunferencia circunscrita es igual al módulo de los tres resultados complejos de la raíz cúbica pedia, $\sqrt[3]{6}$. Por tanto, del triángulo $\triangle(O,B,C)$ vemos que $\ell/2=r\cdot \cos (60^{\circ}/2)$ y por tanto, $\ell= 2\,\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt[3]{6}\cdot \sqrt{3}=\sqrt[6]{2^{2}\cdot 3^5}$ unidades de longitud.
(c)
$\dfrac{2-x\,i^2+3\,i^7}{4+3\,i}=a-b\,i$
$\dfrac{2-(-1)\,x+3\,i^3}{4+3\,i}=a-b\,i$
puesto que $i^2=-1$ y $i^7=i^{\text{resto}(7\div 4)}=i^3=i\cdot i^2=(-1)\,i=-i$
$\dfrac{2-(-1)\,x-3\,i}{4+3\,i}=a-b\,i$
$\dfrac{(2+x)-3\,i}{4+3\,i}\cdot \dfrac{4-3i}{4-3i}=a-b\,i$
$\dfrac{((2+x)-3\,i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}=a-b\,i$
$\dfrac{(4x-1)-i(3x+18)}{25}=a-b\,i$
$\dfrac{4x-1}{25}-i\dfrac{3x+18}{25}=a-b\,i$
$\dfrac{4x-1}{25}-3\,i\,\dfrac{x+6}{25}=a-b\,i \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=\dfrac{4x-1}{25}\\ b=\dfrac{3\,(x+6)}{25}\end{matrix}\right.$
$\square$
