ENUNCIADO. Escríbase las posibles ecuaciones de una parábola cuyo vértice se sitúa en el punto $V(1,0)$ y que pasa por el punto $P(3,3)$ así como las coordenadas del foco $F$ y las ecuaciones de la recta de simetría ( que ha de ser paralela a uno de los ejes de coordenadas ) y de la recta directriz.
SOLUCIÓN.
Caso I ( La recta de simetría es paralela al eje Ox ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$y^2=4px$$ Sin embargo, teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$y^2=4p(x-1)$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$3^2=4p(3-1)$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{9}{8}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$y^2=4\cdot \dfrac{9}{8}\,(x-1)$$ es decir $$y^2=\dfrac{9}{2}\,(x-1)$$ por lo que podemos escribir las coordenadas del foco, ya que sabemos que éstas son $F(p+1,0)$, esto es $$F(9/8+1,0) \rightarrow (17/8,0)$$ Por otra parte, la recta directriz, tiene por ecuación $x=1-p=1-9/8$ esto es $$\text{recta directriz}\equiv x -\dfrac{1}{8}$$
Caso II ( La recta de simetría es paralela al eje Oy ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$x^2=4py$$ Teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$(x-1)^2=4py$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$(3-1)^2=4p\cdot 3$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{1}{3}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$(x-1)^2=\dfrac{4}{3}\,y$$ que puede expresarse también de la forma $$y=\dfrac{3}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{3}{4}$$
Podemos escribir las coordenadas del foco teniendo en cuenta la traslación: $F(1,0+p)$, esto es $$F(1,0+1/3)\rightarrow (1,1/3)$$ Por otra parte, por la traslación, la recta directriz, tiene ahora por ecuación $y=-p=-\dfrac{1}{3}$
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