ENUNCIADO. Escríbase las posibles ecuaciones de una parábola cuyo vértice se sitúa en el punto V(1,0) y que pasa por el punto P(3,3) así como las coordenadas del foco F y las ecuaciones de la recta de simetría ( que ha de ser paralela a uno de los ejes de coordenadas ) y de la recta directriz.
SOLUCIÓN.
Caso I ( La recta de simetría es paralela al eje Ox ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría y^2=4px Sin embargo, teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto (1,0), la ecuación de la parábola se escribirá y^2=4p(x-1) Determinemos ahora p imponiendo que la parábola pase por el punto P(3,3), con lo cual 3^2=4p(3-1) de donde despejando p obtenemos p=\dfrac{9}{8} Así, la ecuación de la parábola es y^2=4\cdot \dfrac{9}{8}\,(x-1) es decir y^2=\dfrac{9}{2}\,(x-1) por lo que podemos escribir las coordenadas del foco, ya que sabemos que éstas son F(p+1,0), esto es F(9/8+1,0) \rightarrow (17/8,0) Por otra parte, la recta directriz, tiene por ecuación x=1-p=1-9/8 esto es \text{recta directriz}\equiv x -\dfrac{1}{8}
Caso II ( La recta de simetría es paralela al eje Oy ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría x^2=4py Teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto (1,0), la ecuación de la parábola se escribirá (x-1)^2=4py Determinemos ahora p imponiendo que la parábola pase por el punto P(3,3), con lo cual (3-1)^2=4p\cdot 3 de donde despejando p obtenemos p=\dfrac{1}{3} Así, la ecuación de la parábola es (x-1)^2=\dfrac{4}{3}\,y que puede expresarse también de la forma y=\dfrac{3}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{3}{4}
Podemos escribir las coordenadas del foco teniendo en cuenta la traslación: F(1,0+p), esto es F(1,0+1/3)\rightarrow (1,1/3) Por otra parte, por la traslación, la recta directriz, tiene ahora por ecuación y=-p=-\dfrac{1}{3}
\square
