Clasificación de dos curvas cónicas y estudio de la incidencia entre ellas

ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.

SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
  $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
    $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$

$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
  $\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
    $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
      $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
        $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
          $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$

Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$

Recta tangente a una circunferencia ...

Enunciat:
Donada la recta
$r:\,y=2x+k$
i la circumferència
$c:\,(x-1)^2+y^2=1$
determineu els valors de $k$ per als quals $r$ i $c$ són tangents.

Resolució:
Per tal d'investigar la incidència entre $r$ i $c$ cal resoldre el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} (x-1)^2+y^2=1 \\ y=2x+k \\ \end{matrix}\right\}$

Substituint l'expressió de $y$ de la segona equació a la primera equació trobem una equació compatible amb les altres dos amb només una variable

$(x-1)^2+(2x+k)^2=1$

desenvolupant les potències del binomis i agrupant i simplificant queda

$5x^2+2x(2k-1)+k^2=0$

La solució d'aquesta equació polinòmica de segon grau dóna les abscisses dels punts d'intersecció de $r$ i $c$; en el cas que la recta no sigui secant (la recta talla en dos punts a la circumferència) ans sigui tangent (en cada situació de tangència - és obvi que n'hi haurà dos - la recta toca la circumferència en un sol punt), es complirà que el valor del discriminant
$\Delta=b^2-4ac$
serà igual a zero

com que
$a=5$
$b=2\,(2k-1)$
i
$c=k^2$

imposant la condició anterior trobem
$\big(2\,(2k-1)\big)^2-4\cdot 5 \cdot k^2 = 0$
equació que, simplificada, s'escriu
$k^2-4k-1=0$
resolent-la, trobem dos valors de $k$ (un per cada un dels dos punts de tangència)

$k=\dfrac{-4 \pm 2\,\sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix} -2+\sqrt{5} \\ \\ -2-\sqrt{5} \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[autoría]