ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas \mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0 y \mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.
SOLUCIÓN.
\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0
\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0
\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2, luego esta curva es una circunferencia de centro (2,0) y radio r=4
\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0
\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0
\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0
\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16
\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1
\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1, tratándose pues de una elipse de centro (2,0); semiejes a=4 y b=3
Los vértices de la elipse son A_{2}(4+2,0), A'_{2}(-4+2,0); B_{2}(0,3) y B'_{2}(0,-3). Y los de la circunferencia A_{1}(4+2,0), A'_{1}(-4+2,0); B_{1}(0,4) y B'_{1}(0,-4). Por consiguiente la elipse \mathcal{C}_2 es tangente interior a la circunferencia \mathcal{C}_1 en A_{1}=A_{2} y en A'_{1}=A'_{2}
\square
