ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.
SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
$\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
$\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$
$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
$\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
$\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
$\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
$\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
$\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$
Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$
