Ejercicio de demostración de la veracidad de una identidad trigonométrica propuesta

Resolución de un triángulo general, calculando los ángulos a partir de las longitudes de los tres lados

Aplicación de la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo, conocidas las longitudes de sus tres lados

Ejemplo de resolución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible

Un ejemplo de resolución de ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

Un ejemplo de factorización de polinomios.

Sobre el comportamiento de diversas sucesiones

Para que una sucesión tenga límite, esto es, para que converja, tiene que estar acotada; quiere decir ésto que ha de exisitir un número real $k$ tal que para todo valor del índice de la sucesión, $n$, se cumpla que $a_n \le k$, si es globalmente creciente; o bien, $a_n \ge k$, en caso de ser globalmente decreciente.

Aclaro por qué digo eso de 'globalmente': Una sucesión puede presentar un comportamiento creciente para, luego decrecer, o viceversa; sin embargo, contemplando la sucesión para valores lo suficientemente grandes de $n$, es posible que acabe creciendo o decreciendo; o incluso, que acabe oscilando entre dos o más valores, en cuyo caso, no podemos decir que converja a ninguno de ellos; por ese motivo, decimos que el valor del límite, si existe, ha de ser único.

La sucesión $a_n=-\dfrac{2}{n^2}$ es creciente y acotada pues $a_n \le 0$ ( en este caso, $k=0$ ), y el límite de la sucesión, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,a_n=0$.

Como ya se ha avanzado en el segundo párrafo, puede darse el caso de que una sucesión no sea monótona; y, aunque esté acotada, el límite puede no existir, por ejemplo, tal es el caso de $b_n=(-1)^{n}\,\dfrac{n}{n+4}$, pues al pasar al límite ( al hacer $n \rightarrow \infty$ ) nos encontramos con que la sucesión oscila entre $-1$ y $1$, dependiendo de que $n$ sea par o bien impar; y, ante esta diatriba, diremos que el límite no existe.

Lo mismo ocurre con $d_n=5-\dfrac{1}{n^3}$, que es monótona decreciente ( decrece para valores consecutivos de $n$ ) y está acotada por $k=5$, esto es, $d_n \le 5$ para todo valor de $n$. El límite existe, y su valor es $5$, tal como, podemos comprobar al confeccionar una tabla de valores avanzados para los términos de la sucesión, y que, ciertamente, encontramos al pasar directamente al límite ( sustituyendo $n$ por $\infty$ ).

Si una sucesión monótona creciente no está acotada, decimos que diverge, y al pasar al límite encontraremos como resultado $+\infty$; si una sucesión monótona decreciente no está acotada es, también, divergente, y al pasar al límite nos econtraremos con $-\infty$.

No existe el límite de la sucesión $c_n=(-1)^{n}\,n^2$, por partida doble, pues además que no está acotada, tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ según sea $n$ par o impar. $\square$

Ecuaciones trascendentes de tipo trigonométrico

Ecuaciones con términos exponenciales

Cálculos con radicales

El teorema de Ptolomeo y la razón áurea

Períodos de las funciones seno, coseno y tangente

ENUNCIADO. El período de las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$ es $2\,\pi$ rad; y, el de la función $tan(x)$ es $\pi$ rad. Justifíquense esas afirmaciones.

SOLUCIÓN. La tres primeras raíces consecutivas de la función seno son $0$, $\pi$ y $2\,\pi$, pues satisfacen la ecuación $\sin(x)=0$; entonces, como el período $T$ es igual a la distancia entre la tercera y la primera raíz, tenemos que $T=2\,\pi-0=2\,\pi$ rad. Para la función coseno, las tres primeras raíces son $\pi/2$, $3\,\pi/2$ y $5\,\pi/2$; y, como el período -- al igual que en el caso de la función seno -- es la distancia entre la tercera y la primera raíz, tenemos que es igual a $| 5\,\pi/2- \pi/2| = 2\,\pi$ rad. En el caso de la función tangente, el período es igual a la distancia entre las dos primeras raíces. Como éstas son $0$ y $\pi$ rad, pues satisfacen la ecuación $\tan\,(x)=0$, el período es igual a $|\pi-0|=\pi$ rad. $\square$

Períodos de las funciones trigonométricas

ENUNCIADO. Averiguar el período de la función $f(x)=2\,\sin 5x$; el de la función $g(x)=3\cos\,5x$, y el de la función $h(x)=4\,\tan\,7x$

SOLUCIÓN. Recordemos que una función $\Phi(x)$ es periódica si existe un número real $T$ tal que para todo valor $x$ que tenga imagen por $\Phi$, se tiene que $\Phi(x+T)=\Phi(x)$.


I) Sabemos que la función seno es periódica y su período es $2\,\pi$ rad [1], luego $\sin\,5x = \sin\,(5x+2\,\pi) = \sin\,\left(5\,(x+\dfrac{2}{5}\,\pi)\right)=\sin\,(5\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{2}{5}\,\pi$, por lo que el período de la función $\sin\,5x$ es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad; y, por tanto, el período de la función pedida, $f(x)=2\,\sin\,5x$, también es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$2$' ) no afecta al período de la misma.

II) Otra manera de determinar el período es la siguiente. La distancia entre tres ceros consecutivos de la función seno es igual al período; calculemos los tres primeros ceros (raíces ): $\sin 7x = 0 \Leftrightarrow 7x \in \{ 0\,,\,\pi/7\,,\,2\,\pi/7\}$, luego $T=|x_3-x_1|=|2\,\pi/7-0=2\,\pi/7$ rad

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Por lo que respecta a la función coseno pedida, tengamos en cuenta que el período de la función seno es el mismo que el de la función coseno [1], esto es, $\cos\,(x+2\pi)=\cos\,x$, y desde luego, tampoco le afecta la amplitud -- en el caso que nos ocupa es '3' -- por lo que el período de la función $g(x)=3\cos\,5x$ es, tambíen, $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, razonando de manera análoga que en la pregunta anterior.

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Para terminar, discutamos cuál es el período de la función $h(x)=4\,\tan\,7x$. Sabemos que el perído de la función $\tan\,x$ es $\pi$ rad [1], esto es, $\tan\,x = \tan\,(x+\pi)$. Entonces, $\tan\,7x = \sin\,(7x+\pi) = \tan\,\left(7\,(x+\dfrac{1}{7}\,\pi)\right)=\tan\,(7\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{1}{7}\,\pi$, por lo que el período de la función $\tan\,7x$ es $\dfrac{1}{7}\,\pi$ rad; y, por tanto, el período de la función, $h(x)=4\,\tan\,7x$, es $\dfrac{1}{7}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$4$' ), como ya sabemos, no afecta al período de la misma.
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Lugar geométrico de los máximos de una familia de parábolas

Escribí hace tiempo este apunte sobre el problema. La solución es una elipse, como podéis ver en dichas notas.
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Nota:
Esta elipse no debe confundirse con la envolvente de dicha familia de parábolas (que es la solución a otro problema distinto) y que es una parábola (conocida con el nombre de parábola de seguridad). $\square$

Inecuaciones

ENUNCIADO:
Encontrar el conjunto de números reales que cumplen la siguiente desigualdad $$(x-1)(x+1) \ge 1$$

SOLUCIÓN:
$$(x-1)(x+1) \ge 1 \Leftrightarrow x^2-1 \ge 1 \Leftrightarrow x^2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le -|\sqrt{2}| \\ \text{ó} \\ x \ge |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$ luego el intervalo solución viene dado por la unión de las siguientes semirrectas $$S=(-\infty\,,\,-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}\,,\,+\infty)$$ $\square$

Matemática financiera básica. Amortización de un préstamo.

Sucesiones doblemente aritméticas ( s. cuadráticas )

ENUNCIADO. Calcular el término general de la sucesión: $1,2,4,7,11,16,\ldots$

Cómo demostrar algo por el método de contradicción

Una proposición A implica otra proposición B si y sólo si no B implica no A. En esta propiedad se basa el método de demostración por contradicción.

Igualdad de dos conjuntos

Para demostrar que dos conjuntos A y B son iguales, debe probarse que A está incluido en B ( todo elemento de A debe ser también un elemento de B ) y que B está incluido en A ( todo elemento de B debe ser también un elemento de A ).

Conjuntos, proposiciones y lenguaje matemático

ENUNCIADO. Exprésese en el lenguaje natural la siguiente proposición $$(\dot{2}) \cap (\dot{3}) = (\dot{6})$$

Nota: Denotamos por $(\dot{n})$ el conjunto de los números enteros múltiplos de $n$, siendo $n$ un número entero.

SOLUCIÓN. La igualdad entre los conjuntos de ambos miembros viene a decir que si para $x\in \mathbb{Z}$ tal que $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$, entonces $x \in (\dot{6})$; y, recíprocamente, si $x \in \mathbb{Z}$ es tal que $x \in (\dot{6})$, entonces $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$

En el lenguaje natural, tal como se pide, ésto se expresa diciendo que todo número entero no negativo que sea múltiplo de $2$ y también de $3$ ha de ser, a su vez, múltiplo de $6$; y, recíprocamente, todo número entero múltiplo de $6$ ha de ser un múltiplo de $2$ y, también, un múltiplo de $3$
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En fila india

ENUNCIADO. Diez personas quieren colocarse en fila india, de manera que la más baja y la más alta no estén juntas en ningún caso. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

SOLUCIÓN. Si no impusiéramos la resctricción tendríamos $\text{P}_{10} = 10! = 3\,628\,800$ posibilidades; y, si hacemos el recuento de los casos en que la persona más baja y la más alta están juntas vemos que, como hay $\text{P}_{2}$ maneras de colocar a la pareja formada por la persona más baja y la persona más alta juntas en algún lugar de la fila y $\text{P}_{10-2}$ de colocar al resto de personas, aplicando el principio de independencia encontramos $\text{P}_{2} \cdot \text{P}_{10-2}= 2 \cdot 8! = 80\,640$ maneras de formar una fila india en la que la persona más baja y la más alta estén juntas, luego restando dichas cantidades obtenemos: $\text{P}_{10}-\text{P}_{2}\cdot \text{P}_{10-2}=3\,628\,800-80\,640=3\,548\,160$ maneras de colocarse en fila india a las diez personas, evitando que la persona más baja y la más alta estén juntas.
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Ordenando dígitos

ENUNCIADO. ¿ Cuántos números enteros positivos de 5 cifras podemos formar, sin repetir ninguna, de tal modo que las tres primeras sean impares y las dos últimas pares ?

SOLUCIÓN. Dado que el conjunto de cifras pares es $\{0,2,4,6,8\}$, hay $\text{V}_{5,2}=5\cdot 4=20$ maneras de elegir la pareja de cifras correspondiente a las unidades y a las decenas ( que han de ser pares ); y, como disponemos de $5$ cifras impares, $\{1,3,5,7,9\}$, tenemos $\text{V}_{5,3}=5\cdot 4 \cdot 3=60$ maneras de elegir la terna de cifras impares que encabeza el número. Luego, por el principio de independencia, habrá $20\cdot 60=1\,200$ números posibles que cumplan las condiciones del enunciado.
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Ordenando libros en un estante

ENUNCIADO. Tenemos 7 libros de matemáticas y 3 de física. ¿De cuántas maneras podemos colocar cuatro de esos libros de matemáticas y uno de física en un estante, de manera que el libro de física ocupe siempre la posición central?

SOLUCIÓN. Hay $3$ posibilidades de elegir el libro de física que queremos colocar y $\text{V}_{7,4}$ maneras de elegir los libros de matemáticas -- se trata aquí de variaciones ordinarias, pues importa el orden de colocación y no podemos repetir un mismo libro --, luego, por el principio de independencia, podemos ordenarlos de $3\cdot \text{V}_{7,4} = 3 \cdot ( 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 ) = 3 \cdot 840 = 2\,520$ maneras distintas.
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Ecuaciones curiosas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiene ecuación $$\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=2$$ donde, en el primer miembro, figuran infinitas sucesivas potencias

SOLUCIÓN. Es evidente que el valor de $x$ que satisface dicha ecuación ha de ser tal que $1\prec x \prec 2$. Por otra parte, descartando una de las infnitas potencias sucesivas, podemos escribir la ecuación original de manera equivalente de esta sencilla forma $$x^2=2$$ y, por tanto, la solución es $x=|\sqrt{2}|$

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Observación 1: Démonos cuenta de que la solución encontrada corresponde a la abscisa del punto de intersección entre las gráficas de las funciones $f(x==\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ y $g(x)=2$; y puede comprobarse ( realizando unas cuantas potencias sucesivas con la calculadora científica ) que $\displaystyle |\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{\dots}}}}=2$

Observación 2: Si cambiamos el valor del término independiente, procederíamos de la misma manera. Así, la ecuación $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=3$ es equivalente a $x^3=3$ y por consiguiente $x=\sqrt[3]{3}$. Por otra parte, si el término independiente es menor que $1$, la solución que obtenemos es también menor que $1$. Veamos el siguiente ejemplo: $$\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=0,1$$ ecuación que, por lo dicho arriba, podemos escribirla de la forma $$x^{0,1}=0,1$$ o lo que es lo mismo $x^{1/10}=\dfrac{1}{10}$ con lo cual $$x=\left( \dfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 0$$

Ahora bien, me he encontrado con un caso que me ha causado cierta sorpresa: si el término independiente es $4$, la ecuación $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=4$ tiene la misma solución que la primera que se ha comentado $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=2$, ya que es claro que podemos escribir la ecuación de la forma $x^4=4$, de donde se desprende que $x^2=\pm 2$, y por tanto, $x=|\sqrt{2}|$. La sorpresa reside en que al ser los primeros miembros iguales de una y otra ecuación, $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$, teniendo ambas ecuaciones la misma solución, debería concluirse que $2=4$, lo cual es evidentemente falso. Démonos cuenta de que el razonamiento anterior no es correcto, puesto que, si reparamos en que la función $f(x)=x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ crece muy rápidamente, tras realizar una cuantas potencias sucesivas, nos encontramos con que, prácticamente, su trazo es una recta perpendicular al eje de abscisas, lo que explica que las ordenadas de los puntos de corte con las rectas de ecuaciones $x=2$ y $x=4$ sean las mismas cuando realizamos infinitas potencias sucesivas.

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Un problema sencillo sobre coincidencias

ENUNCIADO. Dos personas se encuentran en la planta baja de un edificio de tres plantas y se montan en el ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que, en el trayecto de subida, decidan bajarse en la misma planta?

SOLUCIÓN. La siguiente tabla ilustra las posibles elecciones de planta, en el conjunto {1,2,3}, de cada una de las tres personas P1, P2 y P3:

P1|P2
-----
1 | 1
1 | 2
2 | 1
2 | 2
.
.
.
3 | 1
1 | 3
.
.
.

3 | 3

El número total de posibilidades es $\text{VR}_{3,2}=3^2$ y el número de posibilidades favorables a elegir la misma planta, {(1|1),(2|2),(3|3)} es evidentemente $3$. Así pues, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $\dfrac{3}{3^2}=\dfrac{1}{3}$
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Raíces enteras y racionales de una ecuación algebraica

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Proposición: Sea $f(x)=0$ es una ecuación algebraica con coeficientes reales, y sea una $\alpha=a+b\,i$ una solución compleja ( con $b\neq 0$ ) de dicha ecuación, entonces su conjugada, $\bar{\alpha}=a-b\,i$ es también una solución compleja de la misma.
[No daremos aquí la demostración.]

Ejemplo. Consideremos la ecuación algebraica $x^2+x+1=0$. Una solución de la misma es $\alpha=-\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, y puede comprobarse que $\bar{\alpha}=-\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ también lo es.

Proposición: Sea $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$ una función polinómica con coeficientes enteros y sea $\alpha \in \mathbb{Z}$ una raíz entera de $f(x)$, entonces se cumplan las siguientes condiciones ( no daremos aquí la demostración ):
i) $\alpha$ es divisor de $a_0$ ( Nota: por comodidad lo notamos de la forma $\alpha | a_0$ )
ii) $(\alpha - 1) | f(1)$ siendo $\alpha \neq 1$
iii) $(\alpha + 1) | f(-1)$ siendo $\alpha \neq -1$

Observación: Esta proposición da lugar a un algoritmo para encontrar raíces enteras de $f(x)$ entre los divisores del término de grado cero, descartando rápidamente los divisores del término independiente que resultan no ser raíces enteras.

Cálculo de las raízes enteras del polinomio f(x)
// f(x)  { definido por su grado n y los n+1 coeficientes de los términos }
{
  Calcular los divisores del término de grado 0:
    div(a_0):={\pm\,1,\pm\,,\,d(1)\,,\,d(2)\,...,d(k)};
    conjunto de raíces enteras:={};
  Si f(-1)=0 
    {
      añadir -1 al conjunto de raíces enteras;
      calcular su multiplicidad;
    }
  Si f(1)=0  
    {
      añadir 1 al conjunto de raíces enteras;
      calcular su multiplicidad;
    }
  // Empezamos a examinar los otros divisores del término de grado 0
  // d(1),...,d(k) 
  i:=0;
  Repetir hasta que i=k+1
  {
    Si d(i)-1 es divisor de f(1) entonces
      {
        Si d(i)+1 es divisor de f(-1) entonces
          {
            Si f(d(i))=0 entonces 
              { 
                añadir d(i) al conjunto de raíces enteras; 
                calcular su multiplicidad
              }
            En caso contrario
              {}   
  i:=i+1 // pasamos a examinar el siguiente divisor 
  }
}

Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de $f(x)=x^2+x-9$
Los divisores de $a_0=-9$ son $\text{div}=\{\pm 1, \pm 3, \pm 9\}$.
SOLUCIÓN. Observemos que $f(1)=-7 \neq 0$ y $f(-1)=9\neq 0$, luego ni $-1$ ni $1$ son raíces de $f$. Veamos si $3$ lo es: $3-1 = 2$ no divide a $f(1)$ luego se incumple (ii) y por tanto $3$ no es raíz de $f$. Lo mismo ocurre con $-3$ pues $-3-1=-4$ no divide a $f(1)$; $9$ tampoco lo es ya que $9-1=8$ no divide a $f(1)$, y tampoco $-9$ es una raíz, porque $-9-1=-10$ no divide a $f(1)$. En consecuencia, $f(x)$ no tiene raíces enteras. $\square$

Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de $f(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-3\,x+8$
SOLUCIÓN. Las posibles raíces enteras de $f(x)$ son los divisores del término de grado cero, esto es $\text{div}(8)=\{\pm\,1\,,\,\pm\,2\,,\,\pm\,4\,,\,\pm\,8\}$. Utilizaremos ahora el algoritmo. Como $f(-1)=13\neq 0$, $-1$ no es raíz de $f$; tampoco $1$ es raíz de $f$ pues $f(1)=9\neq 0$. Veamos ahora si hay alguna raíz entera entre el resto de candidatos:
    a) ¿ Es $2$ raíz de $f$ ? Como $2-1=1|f(1)=9$, examinemos ahora si $2+1$ divide a $f(-1)$: $2+1=3$ no es divisor de $f(-1)=13$, deducimos de ello que $2$ no es raíz de $f$
    b) ¿ Es $-2$ raíz de $f$ ? Como $-2-1=-3|f(1)=9$, averiguemos ahora si $-2+1=-1$ divide a $f(-1)$: $-2+1=-1$ es divisor de $f(-1)=13$, sin embargo $f(-2)=-42\neq 0$ con lo cual $-2$ no es raíz de $f$
    c) ¿ Es $3$ raíz de $f$ ? Como $3-1=2$ no es divisor de $f(1)=9$, $3$ no es raíz de $f$
    d) ¿ Es $-3$ raíz de $f$ ? Teniendo en cuenta que $-3-1=-4$ no es divisor de $f(1)=9$, en consecuencia $-3$ no es raíz de $f$
    e) ¿ Es $4$ raíz de $f$ ? Como $4-1=3 | f(1)=9$ pero $4+1=5$ no es divisor de $f(-1)=13$, $4$ no es raíz de $f$
    f) ¿ Es $-4$ raíz de $f$ ? Teniendo en cuenta que $-4-1=-5$ no es divisor de $f(1)=9$, $-4$ no es raíz de $f$
    g) ¿ Es $8$ raíz de $f$ ? Como $8-1=7 | f(1)=9$, $8$ no es raíz de $f$
    h) ¿ Es $-8$ raíz de $f$ ? Vemos que $-8-1=-9 | f(1)=0$; ahora bien,$-8+1=-9$ no es divisor de $f(-1)=13$, por consiguiente $-8$ no es raíz de $f$. En consecuencia, $f$ no tiene ninguna raíz entera. $\square$

Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de $f(x)=3\,x^4-12\,x^3+13\,x^2-4\,x+4$
SOLUCIÓN. Las posibles raíces enteras de $f(x)$ son los divisores del término de grado cero, esto es $\text{div}(8)=\{\pm\,1\,,\,\pm\,2\,,\,\pm\,4\}$. De nuevo, empleamos el algoritmo explicado. Como $f(-1)=36\neq 0$, $-1$ no es raíz de $f$; tampoco lo es $1$ pues $f(1)=4\neq 0$. Veamos ahora si hay alguna raíz entera entre el resto de candidatos:
    a) ¿ Es $2$ raíz de $f$ ? Como $2-1=1|f(1)=4$, examinemos ahora si $2+1$ divide a $f(-1)$: $2+1=3$ es divisor de $f(-1)=36$, y como $f(2)=0$ vemos que $2$ es raíz de $f$. Procedamos ahora a calcular su multiplicidad. Por el teorema del factor, $x-2$ es un factor de $f(x)$, y el polinomio cociente de $f(x)\div (x-2)$ es $c(x)=3\,x^3-6x^2+x-2$, observando que $c(2)=0$, así pues la multiplicidad de $2$ es al menos $2$. Veamos si es superior a $2$; otra vez, por el teorema del factor, calculemos el cociente de $c(x) \div (x-2)^2$, que resulta ser $c_2(x)=3\,x^2+1$, y como este polinomio no tiene raíces reales, concluimos que la única raíz real ( que, en particular, es entera ) de $f(x)$ es $2$ y que su multiplicidad es $2$.

Observación: La factorización de $f(x)$ es, por tanto, la siguiente $f(x)=(x-2)^2\,(3\,x^2+1)$
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Proposición. Toda raíz racional, $\dfrac{m}{n}$ ( con $\text{m.c.d.}(m,n)=1$ ) de una función polinómica con coeficientes enteros, $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, es tal que $m | a_0$ y $n | a_n$

Nota. La función polinómica con coeficientes enteros $f(x)=1\cdot x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$ no tiene raíces no enteras, esto es, las posibles raíces racionales son enteras.

Observación. Consideremos una ecuación algebraica $q_n\,x^n+q_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+q_1\,x+q_0=0$ con coeficientes $q_i$ ($i=0,1,\ldots,n$ racionales. Entonces ésta se reduce a una ecuación algebraica con coeficientes enteros multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo del conjunto de denominadores de los coeficientes racionales.

Ecuaciones algebraicas y ecuaciones trascendentes

Definición ( ecuación algebraica ). Decimos que una ecuación $f(x)=0$ es algebraica si $f(x)$ es una función polinómica, esto es, $f(x)$ es del tipo $a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, donde $n$ es un entero no negativo y los coeficientes $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ son números reales o complejos.

Ejemplos de ecuaciones algebraicas: $x^2-x+1=0$, $\dfrac{3}{2}\,x^3+x^2-\dfrac{5}{4}=0$, $\sqrt{2}\,x^3+5=0$, $(4+i)\,x^2+1=0$, etcétera

Observación. Decimos que un número es algebraico si se obtiene como solución de alguna ecuación algebraica. Ejemplos: $2$, $-\dfrac{1}{3}$, $\sqrt{2}$, $\Phi$ ( el número áurico, $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ), etcétera.

Proposición ( teorema fundamental del álgebra ). Sea una ecuación algebraica $a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0=0$, con $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ complejos ( en particular, reales ), y $n\succ 0$, entonces existen exactamente $n$ soluciones complejas de la misma.
[No daremos aquí la demostración.]

Dicho de otro modo: toda función polinómica $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, con coeficientes complejos, y de grado mayor que cero, tiene exactamente $n$ raíces complejas.

Definición ( ecuación trascendente ). Decimos que una ecuación $f(x)=0$ es trascendente si $f(x)$ contiene almenos un término no polinómico ( y por tanto, trascendente ), del tipo $k^x$, $\log_{b}\,x$, $\sin\,x$, etcétera.

Ejemplos de ecuaciones trascendentes: $3^x-x=0$, $\sin\,x+x^2=0$, etcétera.

Observación. Decimos que un número es trascendente si no se obtiene como solución de alguna ecuación algebraica. Ejemplos: $\pi$, $e$, ...

Habiendo olvidado la clave de la cerradura de la maleta ...

ENUNCIADO. Un maleta está protegida con una contraseña de cuatro cifras ( cada una de ellas, entre $0$ y $9$ ). Al cerrar la maleta con una cierta contraseña, ésta se nos olvida; sin embargo, recordamos que habíamos elegido dos cifras pares distintas y dos cifras impares distintas. ¿Cuántas claves deberemos probar como máximo?

SOLUCIÓN. Hay $\displaystyle \binom{5}{2}$ maneras de elegir las dos cifras pares y $\displaystyle \binom{5}{2}$ maneras de elegir las dos cifras impares. Por otra parte, podemos permutar las cuatro cifras de $4!$ maneras posibles. Así, pues, por el principio multiplicativo, hay, a lo sumo, un total de $\displaystyle 4!\cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{5}{2} = 24\cdot 10\cdot 10 = 2400$ posibles claves a examinar. $\square$