Definición ( ecuación algebraica ). Decimos que una ecuación $f(x)=0$ es algebraica si $f(x)$ es una función polinómica, esto es, $f(x)$ es del tipo $a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, donde $n$ es un entero no negativo y los coeficientes $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ son números reales o complejos.
Ejemplos de ecuaciones algebraicas: $x^2-x+1=0$, $\dfrac{3}{2}\,x^3+x^2-\dfrac{5}{4}=0$, $\sqrt{2}\,x^3+5=0$, $(4+i)\,x^2+1=0$, etcétera
Observación. Decimos que un número es algebraico si se obtiene como solución de alguna ecuación algebraica. Ejemplos: $2$, $-\dfrac{1}{3}$, $\sqrt{2}$, $\Phi$ ( el número áurico, $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ), etcétera.
Proposición ( teorema fundamental del álgebra ). Sea una ecuación algebraica $a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0=0$, con $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ complejos ( en particular, reales ), y $n\succ 0$, entonces existen exactamente $n$ soluciones complejas de la misma.
[No daremos aquí la demostración.]
Dicho de otro modo: toda función polinómica $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, con coeficientes complejos, y de grado mayor que cero, tiene exactamente $n$ raíces complejas.
Definición ( ecuación trascendente ). Decimos que una ecuación $f(x)=0$ es trascendente si $f(x)$ contiene almenos un término no polinómico ( y por tanto, trascendente ), del tipo $k^x$, $\log_{b}\,x$, $\sin\,x$, etcétera.
Ejemplos de ecuaciones trascendentes: $3^x-x=0$, $\sin\,x+x^2=0$, etcétera.
Observación. Decimos que un número es trascendente si no se obtiene como solución de alguna ecuación algebraica. Ejemplos: $\pi$, $e$, ...
