Sobre el comportamiento de diversas sucesiones

Para que una sucesión tenga límite, esto es, para que converja, tiene que estar acotada; quiere decir ésto que ha de exisitir un número real $k$ tal que para todo valor del índice de la sucesión, $n$, se cumpla que $a_n \le k$, si es globalmente creciente; o bien, $a_n \ge k$, en caso de ser globalmente decreciente.

Aclaro por qué digo eso de 'globalmente': Una sucesión puede presentar un comportamiento creciente para, luego decrecer, o viceversa; sin embargo, contemplando la sucesión para valores lo suficientemente grandes de $n$, es posible que acabe creciendo o decreciendo; o incluso, que acabe oscilando entre dos o más valores, en cuyo caso, no podemos decir que converja a ninguno de ellos; por ese motivo, decimos que el valor del límite, si existe, ha de ser único.

La sucesión $a_n=-\dfrac{2}{n^2}$ es creciente y acotada pues $a_n \le 0$ ( en este caso, $k=0$ ), y el límite de la sucesión, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,a_n=0$.

Como ya se ha avanzado en el segundo párrafo, puede darse el caso de que una sucesión no sea monótona; y, aunque esté acotada, el límite puede no existir, por ejemplo, tal es el caso de $b_n=(-1)^{n}\,\dfrac{n}{n+4}$, pues al pasar al límite ( al hacer $n \rightarrow \infty$ ) nos encontramos con que la sucesión oscila entre $-1$ y $1$, dependiendo de que $n$ sea par o bien impar; y, ante esta diatriba, diremos que el límite no existe.

Lo mismo ocurre con $d_n=5-\dfrac{1}{n^3}$, que es monótona decreciente ( decrece para valores consecutivos de $n$ ) y está acotada por $k=5$, esto es, $d_n \le 5$ para todo valor de $n$. El límite existe, y su valor es $5$, tal como, podemos comprobar al confeccionar una tabla de valores avanzados para los términos de la sucesión, y que, ciertamente, encontramos al pasar directamente al límite ( sustituyendo $n$ por $\infty$ ).

Si una sucesión monótona creciente no está acotada, decimos que diverge, y al pasar al límite encontraremos como resultado $+\infty$; si una sucesión monótona decreciente no está acotada es, también, divergente, y al pasar al límite nos econtraremos con $-\infty$.

No existe el límite de la sucesión $c_n=(-1)^{n}\,n^2$, por partida doble, pues además que no está acotada, tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ según sea $n$ par o impar. $\square$