El álgebra lineal es un terreno poblado por sistema de ecuaciones lineales, luego éstos pueden contemplares a la luz de los vectores, estableciendo por tanto una conexión con el espacio vectorial. Veamos cómo hacer eso, con un sencillo ejemplo. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&1 \\ 4x&+&5y&=&-1\end{matrix}\right.$$ Podemos expresarlo en forma vectorial de la siguiente manera: $$\begin{pmatrix}2x \\ 4x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3y \\ 5y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ que es lo mismo que $$x\,\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}+y\,\begin{pmatrix}3 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ lo cual nos dice que para obtener el vector del segundo miembro debemos multiplicar el vector $\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$ por $x$ y sumarlo a lo que resulte de multiplicar el vector $\begin{pmatrix}3 \\ 5 \end{pmatrix}$ por el escalar $y$; pues bien, los valores de dichos escalares tendrán que ser $x=-4$ e $y=3$, como puede comprobarse fácilmente. En efecto,
$\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&1 \\ 4x&+&5y&=&-1\end{matrix}\right.\overset{-2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&1 \\ &&-y&=&-3\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=-4 \\ y=3\end{matrix}\right.$
---Referencias:
E. Ferrer Vaccarezza, S. le Clainche Martínez,
Un paseo por los espacios n-dimensionales, Bonalletra Alcompas, S.L., 2019
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