SOLUCIÓN. Es evidente que el valor de $x$ que satisface dicha ecuación ha de ser tal que $1\prec x \prec 2$. Por otra parte, descartando una de las infnitas potencias sucesivas, podemos escribir la ecuación original de manera equivalente de esta sencilla forma $$x^2=2$$ y, por tanto, la solución es $x=|\sqrt{2}|$
Observación 1: Démonos cuenta de que la solución encontrada corresponde a la abscisa del punto de intersección entre las gráficas de las funciones $f(x==\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ y $g(x)=2$; y puede comprobarse ( realizando unas cuantas potencias sucesivas con la calculadora científica ) que $\displaystyle |\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{\dots}}}}=2$
Observación 2: Si cambiamos el valor del término independiente, procederíamos de la misma manera. Así, la ecuación $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=3$ es equivalente a $x^3=3$ y por consiguiente $x=\sqrt[3]{3}$. Por otra parte, si el término independiente es menor que $1$, la solución que obtenemos es también menor que $1$. Veamos el siguiente ejemplo: $$\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=0,1$$ ecuación que, por lo dicho arriba, podemos escribirla de la forma $$x^{0,1}=0,1$$ o lo que es lo mismo $x^{1/10}=\dfrac{1}{10}$ con lo cual $$x=\left( \dfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 0$$
Ahora bien, me he encontrado con un caso que me ha causado cierta sorpresa: si el término independiente es $4$, la ecuación $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=4$ tiene la misma solución que la primera que se ha comentado $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=2$, ya que es claro que podemos escribir la ecuación de la forma $x^4=4$, de donde se desprende que $x^2=\pm 2$, y por tanto, $x=|\sqrt{2}|$. La sorpresa reside en que al ser los primeros miembros iguales de una y otra ecuación, $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$, teniendo ambas ecuaciones la misma solución, debería concluirse que $2=4$, lo cual es evidentemente falso. Démonos cuenta de que el razonamiento anterior no es correcto, puesto que, si reparamos en que la función $f(x)=x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ crece muy rápidamente, tras realizar una cuantas potencias sucesivas, nos encontramos con que, prácticamente, su trazo es una recta perpendicular al eje de abscisas, lo que explica que las ordenadas de los puntos de corte con las rectas de ecuaciones $x=2$ y $x=4$ sean las mismas cuando realizamos infinitas potencias sucesivas.
$\square$
