SOLUCIÓN. Recordemos que una función $\Phi(x)$ es periódica si existe un número real $T$ tal que para todo valor $x$ que tenga imagen por $\Phi$, se tiene que $\Phi(x+T)=\Phi(x)$.
I) Sabemos que la función seno es periódica y su período es $2\,\pi$ rad [1], luego $\sin\,5x = \sin\,(5x+2\,\pi) = \sin\,\left(5\,(x+\dfrac{2}{5}\,\pi)\right)=\sin\,(5\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{2}{5}\,\pi$, por lo que el período de la función $\sin\,5x$ es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad; y, por tanto, el período de la función pedida, $f(x)=2\,\sin\,5x$, también es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$2$' ) no afecta al período de la misma.
II) Otra manera de determinar el período es la siguiente. La distancia entre tres ceros consecutivos de la función seno es igual al período; calculemos los tres primeros ceros (raíces ): $\sin 7x = 0 \Leftrightarrow 7x \in \{ 0\,,\,\pi/7\,,\,2\,\pi/7\}$, luego $T=|x_3-x_1|=|2\,\pi/7-0=2\,\pi/7$ rad
Por lo que respecta a la función coseno pedida, tengamos en cuenta que el período de la función seno es el mismo que el de la función coseno [1], esto es, $\cos\,(x+2\pi)=\cos\,x$, y desde luego, tampoco le afecta la amplitud -- en el caso que nos ocupa es '3' -- por lo que el período de la función $g(x)=3\cos\,5x$ es, tambíen, $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, razonando de manera análoga que en la pregunta anterior.
Para terminar, discutamos cuál es el período de la función $h(x)=4\,\tan\,7x$. Sabemos que el perído de la función $\tan\,x$ es $\pi$ rad [1], esto es, $\tan\,x = \tan\,(x+\pi)$. Entonces, $\tan\,7x = \sin\,(7x+\pi) = \tan\,\left(7\,(x+\dfrac{1}{7}\,\pi)\right)=\tan\,(7\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{1}{7}\,\pi$, por lo que el período de la función $\tan\,7x$ es $\dfrac{1}{7}\,\pi$ rad; y, por tanto, el período de la función, $h(x)=4\,\tan\,7x$, es $\dfrac{1}{7}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$4$' ), como ya sabemos, no afecta al período de la misma.
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