Proposición: Sea $f(x)=0$ es una ecuación algebraica con coeficientes reales, y sea una $\alpha=a+b\,i$ una solución compleja ( con $b\neq 0$ ) de dicha ecuación, entonces su conjugada, $\bar{\alpha}=a-b\,i$ es también una solución compleja de la misma.
[No daremos aquí la demostración.]
Ejemplo. Consideremos la ecuación algebraica $x^2+x+1=0$. Una solución de la misma es $\alpha=-\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, y puede comprobarse que $\bar{\alpha}=-\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ también lo es.
Proposición: Sea $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$ una función polinómica con coeficientes enteros y sea $\alpha \in \mathbb{Z}$ una raíz entera de $f(x)$, entonces se cumplan las siguientes condiciones ( no daremos aquí la demostración ):
i) $\alpha$ es divisor de $a_0$ ( Nota: por comodidad lo notamos de la forma $\alpha | a_0$ )
ii) $(\alpha - 1) | f(1)$ siendo $\alpha \neq 1$
iii) $(\alpha + 1) | f(-1)$ siendo $\alpha \neq -1$
Observación: Esta proposición da lugar a un algoritmo para encontrar raíces enteras de $f(x)$ entre los divisores del término de grado cero, descartando rápidamente los divisores del término independiente que resultan no ser raíces enteras.
Cálculo de las raízes enteras del polinomio f(x)
// f(x) { definido por su grado n y los n+1 coeficientes de los términos }
{
Calcular los divisores del término de grado 0:
div(a_0):={\pm\,1,\pm\,,\,d(1)\,,\,d(2)\,...,d(k)};
conjunto de raíces enteras:={};
Si f(-1)=0
{
añadir -1 al conjunto de raíces enteras;
calcular su multiplicidad;
}
Si f(1)=0
{
añadir 1 al conjunto de raíces enteras;
calcular su multiplicidad;
}
// Empezamos a examinar los otros divisores del término de grado 0
// d(1),...,d(k)
i:=0;
Repetir hasta que i=k+1
{
Si d(i)-1 es divisor de f(1) entonces
{
Si d(i)+1 es divisor de f(-1) entonces
{
Si f(d(i))=0 entonces
{
añadir d(i) al conjunto de raíces enteras;
calcular su multiplicidad
}
En caso contrario
{}
i:=i+1 // pasamos a examinar el siguiente divisor
}
}
Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de $f(x)=x^2+x-9$
Los divisores de $a_0=-9$ son $\text{div}=\{\pm 1, \pm 3, \pm 9\}$.
SOLUCIÓN. Observemos que $f(1)=-7 \neq 0$ y $f(-1)=9\neq 0$, luego ni $-1$ ni $1$ son raíces de $f$. Veamos si $3$ lo es: $3-1 = 2$ no divide a $f(1)$ luego se incumple (ii) y por tanto $3$ no es raíz de $f$. Lo mismo ocurre con $-3$ pues $-3-1=-4$ no divide a $f(1)$; $9$ tampoco lo es ya que $9-1=8$ no divide a $f(1)$, y tampoco $-9$ es una raíz, porque $-9-1=-10$ no divide a $f(1)$. En consecuencia, $f(x)$ no tiene raíces enteras. $\square$
Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de $f(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-3\,x+8$
SOLUCIÓN. Las posibles raíces enteras de $f(x)$ son los divisores del término de grado cero, esto es $\text{div}(8)=\{\pm\,1\,,\,\pm\,2\,,\,\pm\,4\,,\,\pm\,8\}$. Utilizaremos ahora el algoritmo. Como $f(-1)=13\neq 0$, $-1$ no es raíz de $f$; tampoco $1$ es raíz de $f$ pues $f(1)=9\neq 0$. Veamos ahora si hay alguna raíz entera entre el resto de candidatos:
a) ¿ Es $2$ raíz de $f$ ? Como $2-1=1|f(1)=9$, examinemos ahora si $2+1$ divide a $f(-1)$: $2+1=3$ no es divisor de $f(-1)=13$, deducimos de ello que $2$ no es raíz de $f$
b) ¿ Es $-2$ raíz de $f$ ? Como $-2-1=-3|f(1)=9$, averiguemos ahora si $-2+1=-1$ divide a $f(-1)$: $-2+1=-1$ es divisor de $f(-1)=13$, sin embargo $f(-2)=-42\neq 0$ con lo cual $-2$ no es raíz de $f$
c) ¿ Es $3$ raíz de $f$ ? Como $3-1=2$ no es divisor de $f(1)=9$, $3$ no es raíz de $f$
d) ¿ Es $-3$ raíz de $f$ ? Teniendo en cuenta que $-3-1=-4$ no es divisor de $f(1)=9$, en consecuencia $-3$ no es raíz de $f$
e) ¿ Es $4$ raíz de $f$ ? Como $4-1=3 | f(1)=9$ pero $4+1=5$ no es divisor de $f(-1)=13$, $4$ no es raíz de $f$
f) ¿ Es $-4$ raíz de $f$ ? Teniendo en cuenta que $-4-1=-5$ no es divisor de $f(1)=9$, $-4$ no es raíz de $f$
g) ¿ Es $8$ raíz de $f$ ? Como $8-1=7 | f(1)=9$, $8$ no es raíz de $f$
h) ¿ Es $-8$ raíz de $f$ ? Vemos que $-8-1=-9 | f(1)=0$; ahora bien,$-8+1=-9$ no es divisor de $f(-1)=13$, por consiguiente $-8$ no es raíz de $f$. En consecuencia, $f$ no tiene ninguna raíz entera. $\square$
Ejemplo. Encontrar las raíces enteras de $f(x)=3\,x^4-12\,x^3+13\,x^2-4\,x+4$
SOLUCIÓN. Las posibles raíces enteras de $f(x)$ son los divisores del término de grado cero, esto es $\text{div}(8)=\{\pm\,1\,,\,\pm\,2\,,\,\pm\,4\}$. De nuevo, empleamos el algoritmo explicado. Como $f(-1)=36\neq 0$, $-1$ no es raíz de $f$; tampoco lo es $1$ pues $f(1)=4\neq 0$. Veamos ahora si hay alguna raíz entera entre el resto de candidatos:
a) ¿ Es $2$ raíz de $f$ ? Como $2-1=1|f(1)=4$, examinemos ahora si $2+1$ divide a $f(-1)$: $2+1=3$ es divisor de $f(-1)=36$, y como $f(2)=0$ vemos que $2$ es raíz de $f$. Procedamos ahora a calcular su multiplicidad. Por el teorema del factor, $x-2$ es un factor de $f(x)$, y el polinomio cociente de $f(x)\div (x-2)$ es $c(x)=3\,x^3-6x^2+x-2$, observando que $c(2)=0$, así pues la multiplicidad de $2$ es al menos $2$. Veamos si es superior a $2$; otra vez, por el teorema del factor, calculemos el cociente de $c(x) \div (x-2)^2$, que resulta ser $c_2(x)=3\,x^2+1$, y como este polinomio no tiene raíces reales, concluimos que la única raíz real ( que, en particular, es entera ) de $f(x)$ es $2$ y que su multiplicidad es $2$.
Observación: La factorización de $f(x)$ es, por tanto, la siguiente $f(x)=(x-2)^2\,(3\,x^2+1)$
$\square$
Proposición. Toda raíz racional, $\dfrac{m}{n}$ ( con $\text{m.c.d.}(m,n)=1$ ) de una función polinómica con coeficientes enteros, $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, es tal que $m | a_0$ y $n | a_n$
Nota. La función polinómica con coeficientes enteros $f(x)=1\cdot x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$ no tiene raíces no enteras, esto es, las posibles raíces racionales son enteras.
Observación. Consideremos una ecuación algebraica $q_n\,x^n+q_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+q_1\,x+q_0=0$ con coeficientes $q_i$ ($i=0,1,\ldots,n$ racionales. Entonces ésta se reduce a una ecuación algebraica con coeficientes enteros multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo del conjunto de denominadores de los coeficientes racionales.
