Aplicación de los logaritmos a la descripción de las atenuaciones y ganancias de una señal de salida (de un dispositivo) con respecto al valor de la señal de entrada al mismo

La siguiente situación es típica en muchos problemas prácticos de electrónica, física, fisiología, en las que se compara el valor de una señal que sale de un sistema tomando como referencia el valor de la señal de entrada al mismo. En tales situaciones, suele producirse una amplificación o bien una reducción en el nivel de la señal, la cual se suele expresar en decibelios (abreviado $\text{dB}$). Espero que sea clarificador este sencillo ejemplo. Pongámonos en situación:

El valor $x_s$ de una señal de salida de un cierto dispositivo sufre una atenuación, siendo dicho valor el $10\,\%$ del valor de la señal de entrada $x_e$ a dicho dispositivo, ¿cuál es el valor en decibelios que corresponde a esta situación?

Se define la atenuación/ganancia (en decibelios) de una señal (puede tratarse de diversas magnitudes, por ejemplo: tensiones eléctricas, potencias, intensidad de sonido, etcétera) de salida de un cierto dispositivo en referencia a una señal de entrada al mismo, como la cantidad adimensional $10\,\log_{10}\,\dfrac{x_s}{x_e}$ (expresada en $\text{dB}$), tomando como referencia el valor de la señal de entrada $x_e$. En el caso que nos planteamos, tenemos una atenuación, pues $x_s \lt x_e$, luego como $x_s=0,1\cdot x_e$, con lo cual el valor de dicha atenuación (expresado en decibelios) es igual $10\,\log_{10}\,\dfrac{x_s}{x_e}=10\,\log_{10}\,\dfrac{0,1\,x_e}{x_e}=10\,\log_{10}\,0,1=10\,\log_{10}\, 10^{-1}=10\cdot (-1)\cdot \log_{10}\,10=10\cdot (-1)\cdot 1= -10\,\text{dB}$.

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Observación:

El valor negativo (en este caso) resultante indica precisamente que se trata de una atenuación; de haberse dado el caso de una ganancia (amplificación), el número de decibelios sería positivo. $\diamond$

Un ejercicio práctico de cambio de base logarítmica

En este artículo voy a mostraros cómo podemos expresar el logaritmo neperiano (en base el número trascendente $e=2,71828\ldots$) de $x$ (recordemos que $x$ ha de ser un número real mayor que $0$) con logaritmos de base $2$.

Ya hemos hablado de este asunto del cambio de base logarítmica en otras ocasiones; en este ejercicio me ha parecido sin embargo muy útil en tanto y cuanto nos podemos encontrar con alguno parecido cuando se tratan problemas sobre la cantidad de información en bits, en los que los logaritmos deben tener base $2$.

Designemos $t:=\ln\,x$, donde $\ln(.)$ denota el logaritmo en base $e$. Bien, entonces, por la propiedad fundamental de los logaritmos, sabemos que $x=e^t$; y, extrayendo logaritmos en base $2$ en cada miembro, llegamos a $\log_2\,x=\log_2\,e^t$, es decir, $t\,\log_2\,e=\log_{2}\,x \Rightarrow t=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$. En consecuencia, $$\ln\,x=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$$ $\diamond$

Utilidades de los logaritmos para comparar cantidades de la misma magnitud. Órdenes de magnitud

A menudo, nos pueden nos pueden surgir cuestiones del siguiente estilo:
Sean dos valores positivos de una misma magnitud: $x_1$ y $x_2$, con $x_1 \gt x_2$. Sabiendo que $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$, donde $k\gt 1$, por ser el numerador mayor que el denominador. Entonces, ¿en cuántos órdenes de magnitud es mayor $x_1$ que $x_2$?

De $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$ se deduce que $\dfrac{x_1}{x_2}=10^k$, esto es, $x_1= 10^k\,x_2$; es decir, $x_1$ es $10^k$ veces $x_1$, o dicho de otra forma: $x_1$ es $k$ ordenes de magnitud mayor que $x_2$. $\diamond$

Ejemplo de resolución de una ecuación trascendente sencillita

En este artículo voy a resolver la ecuación trascendente para $x\in \mathbb{R}$ $$x^x=1$$

Extrayendo logaritmos en cada miembro:
  $\ln(x^x)=\ln\,1$
    $x\,\ln(x)=\ln\,1$
      $x\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ \ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1\end{matrix}\right.$

Ahora debemos verificar estas dos posibles soluciones, sustituyéndolas en la misma para ver si se cumple que la cantidad del primer miembro sea igual a la del segundo:

Para $x=0$ vemos que el primer miembro es $0^0$, que es una ideterminación, y por tanto no podemos garantizar que sea igual al valor del segundo miembro, luego descartamos este valor, $0$, como solución.

Para $x=1$ se tiene que $1^1=1$, que es igual al valor $1$ del segundo miembro, luego este valor, $1$, sí es solución de la ecuación original.

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Observación:

Si el segundo miembro de la ecuación hubiese sido distinto de $1$, no podríamos haber encontrado una solución exacta, teniendo en tal caso que recurrir a métodos numéricos aproximados.

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Un ejercicio de comparación de números trascendentes

Sin utilizar la calculadora científica ni hacer ningún tipo de cálculo numérico, vamos a averiguar qué número es mayor, $\pi^e$ o $e^\pi$

Es claro que ambos números son mayores que $1$, y no son iguales. Para averiguar cuál es la respuesta a la pregunta, partamos del cociente $\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}$, que vamos a examinar en datalle a continuación.

Si $\pi^e \gt e^\pi$, dicho cociente tendrá que ser mayor que $1$; y, en caso contrario, dicho cociente debería ser menor que $1$. Veamos si se trata de una cosa u otra.

Para ello, tengamos en cuenta que todo número real positivo $a$ puede expresarse como $a=e^{\ln\,a}$, por lo que asignando $a:=\pi$, podemos escribir el cociente de la forma $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}}$$

Por otra parte, tengamos en cuenta que los puntos de la gráfica de la función $y=\ln\,x$ están todos por debajo de la gráfica de la función $y=x$ (las ordenadas de la primera son menores que las de la segunda); en efecto, las funciones $y=e^x$ e $y=\ln\,x$ son recíprocas una de la otra, esto es, la gráfica $y=\ln\,x$ es el reflejo de $e^x$ con respecto a la bisectriz del primer (y del tercer) cuadrante $y=x$, y viceversa. Entonces, podremos acotar el cociente; y, a partir de ahí, llegar fácilmente a la respuesta a la pregunta planteada: $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}} \le \dfrac{e\cdot e^\pi}{e^\pi}=e \gt 1 \Rightarrow \pi^e \gt e^\pi$$ $\diamond$

El uso de los logaritmos para describir el grado de acidez de una disolución acuosa. Cálculo de la concentración de protones, conocido el valor del $pH$ de la disolución

El pH de una disolución se define como el logaritmo decimal del inverso de la concentración molar de iones hidronio $[H_3\,O]^+$ (en $\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$), esto es $\text{pH}:=\log_{10}\,\dfrac{1}{[H_3\,O]^+}$, o lo que es lo mismo, $\text{pH}=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$. De los conocimientos que tenéis de Química, ya sabéis que un $\text{pH}$ por debajo de $7$ indica una disolución ácida; por encima de dicho valor indica una disolución básica (o alcalina), y un $\text{pH}$ igual a $7$ hace referencia a una disolución neutra.

Veamos un ejemplo de cómo calcular la concentración de iones hidronio (protones), conociendo el valor del $\text{pH}$ de la disolución. Pongamos que éste sea $\text{pH}=4,2$. Entonces, como $4,2=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$ (esto es, $-4,2=\log_{10}\,[H_3\,O]^+$) se tiene que $[H_3\,O]^+=-10^{4,2}\approx 6.026\times 10^{-5}\,\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$. $\diamond$

Acerca de los gráficos a escala logarítmica

Consideremos las dependencias funcionales tales que los valores que manejamos de las mismas sean tales que al menos los de una de las variables no varíe de manera más o menos regular. En tales casos, un recurso importante es el de hacer uso de los logaritmos en las representaciones, como es el caso de la escala (logarítmica) de Richter (sismología), o la escala (logarítmica) del pH (química), la descripción de atenuación/ganancia de una señal en decibelios (electrónica), la descripción de la variación de la sensibilidad auditiva, etcétera.

Pongamos un ejemplo sencillo, como es el de las magnitudes cuya relación funcional es exponencial, $y(x)=a^x \quad (1)$, donde $a\in \mathbb{R}$, pueden presentar algunos inconvenientes de índole práctica a la hora de realizar su representación gráfica; sin embargo, si graduamos los ejes según una escala logarítmica (un eje o ambos, según las necesidades; en este caso, sólo es necesario que lo hagamos con el de ordenadas, lo que denominamos escala semilogarítmica) tales inconvenientes se resuelven.

Este recurso también es muy útil a la hora de realizar regresiones estadísticas a partir de los puntos experimentales, pues algunos tipos, como el de ésta, se reducen a una regresión de tipo lineal.

En este ejemplo, esto equivale a tomar logaritmos (de la base, $b\in \mathbb{R}$, que mejor nos convenga) en cada miembro de (1): $\log_b\,y=x\,\log_b\,a$; entonces, denotando $t:=\log_b\,y$, podemos reescribir la dependencia (1) de la forma $t(x)=(\log_b\,a)\cdot x$, que es lineal. Notemos que $\log_b\,a$ es la constante que asociamos a la pendiente de la recta que, en el caso que comentamos, pasa por el origen de coordenadas. A la hora de realizar informes de laboratorio, este truquillo (para representar variaciones no regulares entre dos variables) es todavía más práctico si realizamos la gráfica de los puntos experimentales sobre papel logarítmico (en base decimal), que podemos adquirir fácilmente en una papelería. $\diamond$

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Créditos de los enlaces que aparecen como hiperenlaces en esta entrada de mi blog: Wikipedia

Algunos cálculos básicos con logaritmos a partir de las propiedades más importantes, sin hacer uso de la calculadora

¿Cuál es el valor de $\log_{0,1}\,0,01$ ? ¿y el de $\log_{0,1}\,100$? ¿y el de $\log_{\frac{1}{2}}\,2$?

$\log_{0,1}\,0,01=\log_{10^{-1}}\,10^{-2}=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^2=2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=2\cdot 1=2$.

$\log_{0,1}\,100=\log_{10^{-1}}\,10^2=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^{-2}=-2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=-2\cdot 1=-2$. $\diamond$

$\log_{\frac{1}{2}}\,2=\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{2}}\,1-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}\,\left( \dfrac{1}{2} \right)^0-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=0-1=-1$. $\diamond$

Hay que tener cuidado en no confundir algunas propiedades de los logaritmos por otras que son falsas

Sabemos que $\log_b\,m \cdot \log_b\,n \neq \log_b\,m+\log_b\,n$ y que $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} \neq \log_b\,m-\log_b\,n$ (recordemos que $b,m$ y $n$ son números reales positivos). Demostrémoslo mediante un contraejemplo.

Lo haremos por el método de contradicción (o reducción al absurdo) al tomar valores concretos para $b$, $m$ y $n$. Supongamos que sean ciertas: $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$ y $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$.

Bien, entonces tomemos, por ejemplo $b=10$, $m=1000$ y $n=100$, entonces $\log_{10}\,1000 \cdot \log_{10}\,100=\log_{10}\,10^3 \cdot \log_{10}\,10^2 = 3\cdot 2=6 \neq \log_{10}\,10^3+\log_{10}\,10^2=$
$=3\,\log_{10}\,10+2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1 + 2\cdot 1=5$, que es una contradicción, luego la primera igualdad, $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$, es falsa.

Con los mismos valores (otros cualesquiera también valdrían), $\dfrac{\log_{10}\,1000}{\\log_{10}\,100}=\dfrac{\log_{10}\,10^{3}}{\log_{10}\,10^2}=\dfrac{3\,\log_{10}}{2\,\log_{10}\,10}=\dfrac{3\cdot 1}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2} \neq \log_{10}\,1000-\log_{10}\,100 =$
$=\log_{10}\,10^3-\log{10}\,10^2=3\,\log_{10}\,10-2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1-2\cdot 1= 1$
, que es una contradicción, luego la segunda igualda, $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$, también es falsa.

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Nota: Las que sí son ciertas son las igualdades $\log_b\,a\cdot b=\log_b\,m + \log_b\,n$ y $\log_b\,\dfrac{m}{n}=\log_b\,m-\log_n$. $\diamond$

Reescritura de un número real positivo mediante un logaritmo

Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. A modo de ejercicio, veamos cómo podemos demostrar que $$a^b=c^{\log_c\,(a^b)}$$

Denotemos $u:=a^b$. Entonces, tomando logaritmos en ambos miembros, $\log_c\,u=\log_c\,a^b$; y, por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u=c^{\log_c\,a^b}$, luego $a^b=c^{\log_c\,(a^b)}$. Por ejemplo, cualquier número real positivo $k$ se puede escribir de la forma $e^{\ln\,k}$, o si se quiere, en cualquier otra base $\ell$, como $\ell^{\log_\ell\,k}$ . $\diamond$

Acerca del cambio de base de un logaritmo

Otra interesante propiedad sobre el cambio de base logarítmica es la siguiente: $$\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$$ siendo $a$, $x$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_b\,x \Leftrightarrow x=b^u$, y extrayendo logaritmos en base $a$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_a\,x=\log_a\,b^u$, esto es, $\log_a\,x=u\,\log_a\,b$, con lo cual, $u=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, es decir $\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, tal como se pedía. En muchos cálculos, esta propiedad puede resultar muy práctica, por ejemplo: $\ln\,x=\dfrac{\log\,x}{\log\,e}$ (recordemos que $\log(.)$ indica el logaritmo decimal (en base $10$) y que $\ln(.)$ denota el logaritmo neperiano (en base $e$). $\diamond$

Una propiedad interesante de los logaritmos

En este breve artículo del blog voy a demostrar la siguiente propiedad: $$\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$$ siendo $a$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_a\,b \Leftrightarrow b=a^u$. Extrayendo logaritmos en base $b$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_b\,b=\log_b\,a^u$, esto es, $1=\log_b\,a^u=u\,\log_b\,a$, con lo cual, $u=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, es decir $\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, tal como se pedía. $\diamond$

A vueltas con las ecuaciones trigonométricas

Un bonito ejercicio de resolución de ecuaciones trigonométricas, para valores de $x$ comprendidos en la primera vuelta: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{\cos^2\,x}=1$$

Teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2\,x+cos^2\,x=1$, se tiene que $cos^2\,x=1-\sin^2\,x$, con lo cual podemos escribir la ecuación pedida de la siguiente forma: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$$

Entonces,
  $\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$
    $\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2\cdot 2^{-\sin^2\,x}=1$
      $\displaystyle \dfrac{-2^{\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}+\dfrac{2\cdot 2^{-\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}=\dfrac{1}{2^{-\sin^2\,x}}$
        $\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2+2=2^{\sin^2\,x}$
          $\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2-2^{\sin^2\,x}+2=0$
            $\displaystyle -u^2-u+2 \quad \overset{u:=2^{\sin^2\,x}}{=} \quad 0 \Leftrightarrow u=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2 \cdot (-1)} =\left\{\begin{matrix}-2 \\ 1 \end{matrix}\right.$
Si $u=-2$, tenemos que $-2=2^{\sin^2\,x}$, y, como el segundo miembro es una cantidad positiva y el primero es una cantidad negativa, esta posibilidad no lleva a ninguna solución; por otra parte, si $u=1$, se tiene $1= 2^{\sin^2\,x}$, esto es, $2^0= 2^{\sin^2\,x} \Leftrightarrow \sin^2\,x=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix}0^o \\ 180^o \end{matrix}\right.$. La solución pedida consta pues de dos valores $0^o$ y $180^o$, o, expresado en radianes: $0\, \text{rad}$ y $\pi\,\text{rad}$. $\diamond$

Ejercicio de aplicación de identidades notables para resolver una ecuación polinómica

En el siguiente ejercicio voy a resolver la ecuación polinómica $$x^6=(x+1)^6$$ Observemos que esta ecuación es equivalente a $x^6-(x+1)^6=0$, siendo el primer miembro de la igualdad un polinomio de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese), y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x+1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x+1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x+1)^3\right)\left(x^3+(x+1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x+1)) (x^2+x(x+1)+(x+1)^2) (x+(x+1)) (x^2-x(x+1)+(x+1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $-(3x^2+3x+1)(2x+1)(x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-3 \pm i\,\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x+1=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-1 \pm i\,\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
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