Siete ejemplos de uso de las escalas logarítmicas

Además de las utilidades de los logaritmos en el análisis matemático y el cálculo algebraico y numérico, el empleo de los mismos tiene una gran relevancia a la hora de expresar y representar las cantidades que toman ciertas magnitudes; éstas pueden ser, a veces, muy grandes o muy pequeñas, y, a efectos de manipular dichos valores, no basta con el empleo de la notación científica; por ello, una de las ventajas de las escalas logarítmicas es el poder expresar los valores de dichas magnitudes con números que no son ni muy pequeños ni muy grandes, sino números cómodamente manejables. Además, la percepción de nuestros sentidos de ciertas magnitudes se demuestra mucho más eficiente según la describimos mediante escalas logarítmicas (percepción del sonido, o de la luminosidad, por ejemplo).

Estos siete ejemplos que he elegido son: i) las escalas logarítmicas de la graduación de los ejes de coordenadas en las representaciones gráficas que se emplean habitualmente para describir la dependencia entre dos variables que adoptan valores respectivos mucho más grandes/pequeños una con respecto de la otra; ii) la escala sismológica de Richter; iii) la escala de acidez o de pH; iv) las escalas de magnitudes relativas en la magnitud de la observación de los cuerpos celestes (no incluyen la dependencia de la distancia al observador); v) las escalas de magnitudes absolutas de los mismos (incluyen la dependencia de la distancia al observador); vi) en general, el uso de logaritmos para dos cantidades de la misma magnitud en la entrada y salida de un sistema (decibelios), que tanto se emplea en electrónica y telecomunicaciones; y, en particular, vii) en audición. Los siete los tenéis referenciados a continuación:

  [1] vv.aa., Escalas logarítmicas, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_logarítmica], 2022.
  [2] vv.aa., La escala sismológica de Richter, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_sismológica_de_Richter], 2022.
  [3] vv.aa., La escala de pH, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/PH], 2022.
  [4] vv.aa., Magnitud estelar aparente, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_aparente], 2022.
  [5] vv.aa., Magnitud estelar absoluta, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_absoluta], 2022.
  [6] vv.aa., Decibelio, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio], 2022.
  [7] vv.aa., Sonoridad, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sonoridad_(sicoacústica) ], 2022.

$\diamond$

Escalas logarítmicas ( Artículo escrito en catalán )

Exemples d'escales logarítmiques emprades en diverses ciències experimentals

En ciències experimentals, podem fer servir els logaritmes per descriure el comportament d'un sistema, valorant el guany de potència (o d'una altra magnitud física) d'un senyal sortint $M_{s}$, donat el valor del senyal entrant corresponent $M_{e}$ (que es pren com a referència), valorant-lo com el quocient (o raó aritmètica) d'ambdós valors. Pot succeir, però, que al senyal sortint li correspongui una quantitat molt més gran que al senyal entrant o de referència; en aquests casos, en lloc d'emprar una escala lineal, se sol emprar una escala logarítmica (en base $10$, habitualment) per fer-ne la descripció de la resposta o guany: $G=\log{\Big(\dfrac{M_{s}}{M_{e}}\Big)}$. El guany és, per tant, una magnitud adimensional i s'anoma Bel (abreviat, B) a la unitat d'aquesta escala. Així, per exemple, si a un amplificador li entra un senyal de potència igual a $3$ W i en dóna una sortida de $3\cdot 10^{2}$ W, direm que el guany és de 2 B; sovint es fa servir el submútiple decibel (1 Bel = 10 dB), amb la qual cosa direm que el guany és de $20$ dB .

Un exemple remarcable és la mesura del nivell de pressió sonora o nivell sonor (SPL), que es defineix de la forma $L_{p}= 10 \,\log{\big(\dfrac{p}{p_{0}}\big)^2}$ on $p$ és la pressió que provoca l'ona sonara (en el medi en què es propaga) i $p_0$ és la presssió de referència, que en l'aire, és pren com a $20 \, \mu Pa$ i correspon al límit inferior (o llindar) de percepció en l'oïda humana. A una conversa amb veu molt baixa li correspon un nivell sonor de $40$ dB i a la remor de la pluja, $70$ dB i a una botzina de cotxe, per exemple, $100$ dB .

A la Química, un altre exemple d'ús d'escales logarítmiques el tenim en l'expressió de la mesura del grau d'acidesa. Una dissolució és tan més àcida com més gran sigui la concentració de cations $[H^+]$ o bé de cations hidroni $H_{3}O^{+}$, però com que als valors d'aquestes concentracions (en $l \, \text{mol}^{-1}$) els corresponen nombres molt petits
(ordres de magnitud $\sim 10^{-10}$), hom ho descriu mitjançant una escala logarítmica
$pH = -\log_{10}{[H^+]}$, on $pH$ és un nombre natural tal que $1 \le pH \le 14$. Si la dissolució és neutra $pH=7$; si és àcida, $pH < 7$; i si és bàsica, $pH > 7$. També podem donar el grau complementari $pOH$ (concentració d'anions hidròxid $[OH^{-}])$ de la forma $pOH=14-pH$ , atenent que $[H^{+}]\cdot[OH^{-}]=k_{w}$ on $k_w = 10^{-14}$ és la constant d'ionització de l'aigua.

L'escala de Richter per descriure els sismes també és logarítmica. I, en astronomia i astrofísica, també és logarítmica l'escala amb què es mesura la lluminositat aparent d'un astre (astronomia): l'escala de magnituds aparents.
$\square$

[autoría]